明示的な平衡行列

明示的に構築することが可能であると-マトリックスのすべてのことをするものなの部分行列は以下が含まのもの？ $N \times N$ $0/1$ $N^{1.5}$ $N^{0.499} \times N^{0.499}$ $N^{0.501}$

または、おそらく、そのようなプロパティの明示的なヒットセットを構築することが可能です。

ランダム行列は、指数関数的に近い確率でこのプロパティを持っていることが簡単にわかります。また、拡張特性の混合補題は、この特性を引き出すのに十分ではありません。 $1$

組み合わせ長方形をだます疑似乱数ジェネレーターはここで役立つと思いますが、それらは均一な分布のために設計されており、基本的にここでです。 $B(N^2, N^{-0.5})$

co.combinatorics matrices pseudorandomness pseudorandom-generators

— イリヤラス
ソース

それは興味深い質問です。しかし、私はモチベーションに興味があります。

— スレシュヴェンカト

@Suresh相互情報の定量的非抽出性に由来します。興味があれば、詳しく説明します。

— イリヤラス

私は実際に。その方が簡単な場合は、私にメール（sureshv@gmail.com）を送信できます。

— スレシュヴェンカト

回答:

関数：何を探していることは、2つの独立したソースのための1ビットの抽出である、そのようなX、Yは、最小エントロピー0.499ランダム変数で設け、その* log（N）、E（X、Y）はほぼバランスが取れています。 $E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

これは悪名高い難しい問題です。必要なパラメータについては、Bourgainによって解決されたと思います。こちらをご覧ください：http : //www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

— ダナ・モシュコヴィッツ
ソース

Bourgainは、バイアス与え

、いくつかのために

。私は確信して分析を与えることができないんだけど

。もし私があなただったら、それを調べて確認します。Anup Rao、Zeev Dvir、Avi Wigderson、またはこの問題に取り組んだ他の人に尋ねることもできます。

p = N^{- α}

$p=N^{-\alpha}$

α > 0

$\alpha>0$

α = 1 / 2

$\alpha = 1/2$

— ダナモシュコヴィッツ

@ilyaraz：Bourgainの構成が望ましいマトリックスを提供しているかどうかをあなた（または誰か）が見つけたら、共有してください（気にしない限り）！

— 伊藤剛

これは非常に興味深いQ＆Aです。剛さんの2回目のリクエストです。

— スレシュヴェンカト

質問と回答を読み直しました（しばらく前です）。質問者がN ^ {1.5}だけを望んでいることに気付かなかったと思います。バランスの取れたビットではなく、{-0.5}。それでも、2つのソースの抽出プログラムへの参照は役立つと思います。同様の手法が質問の設定に役立つと想像できます。

— ダナモシュコヴィッツ

1）抽出器がk個のほぼ均一なビットを出力する場合、特に、確率〜1/2 ^ kで1である1ビットを取得できます。2）これはかなり無駄であり、そのようなビットをより効率的に生成する方法を見つけるための素晴らしい研究質問のように思えます。

— ダナモシュコヴィッツ

この回答は、上記の回答でのダナの考えに基づいています。

$\delta = 0.001$ $N=2^n$ $f(x,y)$ $(X, Y)$ $n$ $k = n(1/2 - \delta)$ $n' = n/2$ $\epsilon$ $k'=n(1/2-3\delta)$ $2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$

M. Capalbo、O。Reingold、S。Vadhan、A。Wigderson。次数/ 2の障壁を超えるランダム性導体と一定次数展開

$\epsilon = 2^{-k'}$ $n'$ $z$ $(x,y)$ $f(x,y)=z$ $2^{1.5 n}$ $z$ $z$ $O(2^{-n/2})$ $N \times N$ $(x,y)$ $1$ $(x,y)$ $f(x,y)=z$ $z$ $2^{1.5n}$ もの。

$2^k \times 2^k$ $X, Y$ $f$ $f(X,Y)$ $\epsilon$ $k'$ $1$ $2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$ $2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

$f$

— MCH
ソース