タグ付けされた質問 「boolean-functions」

長年にわたって、離散フーリエ解析を使用して多くのTCS定理が証明されることに慣れてきました。Walsh-Fourier（アダマール）変換は、プロパティテスト、擬似ランダム性、通信の複雑さ、量子コンピューティングなど、TCSのほぼすべてのサブフィールドで役立ちます。 問題に取り組むとき、ブール関数のフーリエ解析を非常に便利なツールとして使用することに快適になりましたが、フーリエ解析を使用するといくつかの素晴らしい結果が得られるかなり良い予感がありますが。この基礎の変更が非常に役立つのは、それが何であるかが本当によく分からないことを認めなければなりません。 TCSの研究において、なぜフーリエ解析が実り多いのかについて、誰にも直観がありますか？フーリエ展開を記述し、いくつかの操作を実行することで、なぜ一見困難な問題が数多く解決されるのでしょうか？ 注：私のこれまでの主な直観は、それがわずかであっても、多項式の振る舞いをかなりよく理解していること、およびフーリエ変換が関数を多重線形多項式として見る自然な方法であるということです。しかし、なぜ具体的にこのベースですか？パリティのベースでこれほどユニークなものは何ですか？

60 soft-question  boolean-functions  fourier-analysis 

数年前、（論文を参照してくださいグロタンディークのコホモロジーに下部回路境界を関係ジョエル・フリードマンによっていくつかの作業があった：http://arxiv.org/abs/cs/0512008、http://arxiv.org/abs/cs/0604024）。この考え方は、ブールの複雑さに関する新しい洞察をもたらしましたか、それともむしろ数学的な好奇心のままですか？

33 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  boolean-functions 

してみましょうブール関数であるとののから関数としてFについて考えてみましょうに。この言語では、fのフーリエ展開は、単に平方自由単項式に関するfの展開です。（これらの単項式は、の実関数の空間の基礎を形成します。係数の2乗和は単純にため、は2乗のない単項式の確率分布になります。この分布をF分布と呼びましょう。fff{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n{−1,1}{−1,1}\{ -1,1 \}2n2n2^n{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n111fff fが多項式サイズの有界深度回路によって記述できる場合、F分布はサイズの単項式にほぼ指数関数的に小さい重みに集中していることが、Linial、Mansour、およびNisanの定理によってわかり。これは、Hastadスイッチング補題から派生しています。（直接的な証明が最も望ましいでしょう。）polylog npolylog n\text{polylog } n mod 2ゲートを追加するとどうなりますか？考慮すべき一つの例は、関数であるに最初のn個の変数と最後のn個の変数のMOD 2内積として記載される変数。ここで、F分布は均一です。IP2nIP2nIP_{2n}2n2n2n 質問：ブール関数のF分布は、境界のある深さの多項式サイズAND、OR、MOD回路によって記述され、 「レベル」に集中しますか（超多項式的に小さな誤差まで）？22_2o(n)o(n)o(n) 備考： 反例への可能性のあるパスの1つは、バラバラの変数セットにさまざまなIPを「何らかの方法で接着」することですが、その方法はわかりません。おそらく質問を弱め、変数にいくつかの重みを割り当てることを許可する必要がありますが、それを行うための明確な方法も見当たりません。（したがって、これら2つの事項を参照することも、私が尋ねていることの一部です。）2k2k_2k modゲートを許可する場合にも、質問（または成功したバリエーション）に対する肯定的な答えが適用されると推測します。（それで、質問をすることは、ライアン・ウィリアムズの最近の印象的なACC結果によって動機づけられました。） kk_k MAJORITYの場合、F分布は「レベル」ごとに大きくなります（1 / poly）。 Lucaが示すように、私が尋ねた質問に対する答えは「いいえ」です。残る問題は、AND ORで記述できるブール関数のF分布のプロパティを見つける方法と、MAJORITYで共有されないmod 2ゲートを見つける方法を提案することです。 MONOTONE関数について説明することにより、質問を保存する試み： 質問：MONOTONEブール関数のF分布は、境界のある深さの多項式サイズAND、OR、MOD回路で記述され、 「レベル」に集中しますか（超多項式的に小さな誤差まで）？22_2o(n)o(n)o(n) を置き換えることもできるのではないかと推測するかもしれないので、この強力なバージョンの反例は興味深いかもしれません。 o(n)o(n)o(n)polylog(n)polylog(n)\text{polylog} (n)

29 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  boolean-functions  fourier-analysis 

PHPHPHf:{0,1}n→{−1,1}f:{0,1}n→{−1,1}f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}ggghhh fffF:{0,1}n→RF:{0,1}n→RF:\{0,1\}^n \to R F(s)=∑x∈{0,1}n(−1)(s⋅xmod 2)f(x)F(s)=∑x∈{0,1}n(−1)(s⋅xmod 2)f(x)F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x) 一または真のフーリエスペクトルであると他の一つは、フーリエが不明ランダムブール関数に属するスペクトルだけの偽物です。ggghhhfff それを示すために難しいことではありません、マシンをすることができていなくてもおおよその任意のため。PHPHPHF(s)F(s)F(s)sss どれが真の成功確率であるかを決定するクエリの複雑さは何ですか？ この問題はでていない場合ので、それは、私には興味深いものです、その後、1がに対するOracleの相対存在することを示すことができるのないサブセットで。PHPHPHBQPBQPBQPPHPHPH

26 cc.complexity-theory  lg.learning  boolean-functions  fourier-analysis 

最近の非常に滑らかな感受性予想の証明は、マトリックスの明示*構造に依存しているAn∈{−1,0,1}2n×2nAn∈{−1,0,1}2n×2nA_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}：再帰的に定義され、以下のように A1=(0110)A1=(0110)A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix} そして、、のためのn≥2n≥2n\geq 2、 An=(An−1In−1In−1−An−1)An=(An−1In−1In−1−An−1)A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix} 特に、参照することは容易であるA2n=nInAn2=nInA_n^2 = n I_nのすべてのためn≥1n≥1n\geq 1。 さて、多分私はあまりこの中に読んでいますが、このルックスは少なくとも構文的に行列の別の有名なファミリーに関連、また、あるアダマール行列、そのH2n∝InHn2∝InH_n^2 \propto I_nと「類似の」スペクトルを有する： H1=(111−1)H1=(111−1)H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} と、のためのn≥2n≥2n\geq 2、 Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix} 「あいまいに似ているように見える」ことを除いて、2つの間に、おそらく有用な正式な接続はありますか？ 例えば、AnAnA_n超立方体の署名された隣接行列として見る{0,1}n{0,1}n\{0,1\}^nいい解釈（エッジの符号有する(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x')\in\{0,1\}^nのパリティでありますプレフィックスxxx）。HnHnH_nアナログはありますか？（これは明らかかもしれません？） ∗∗^*また、非明示的な構成、たとえば一様にランダムな±1±1\pm1行列が目的のスペクトル特性を持っているかどうか疑問に思っていますが、おそらく別の質問を待たなければなりません。

23 boolean-functions  matrices  boolean-matrix 

一般的な算術回路についての知識の状態は、ブール回路についての知識の状態と似ているようです。つまり、良い下限がありません。一方、単調なブール回路には指数サイズの下限があります。 単調な算術回路について何を知っていますか？それらに同様の良い下限がありますか？そうでない場合、モノトーン演算回路の同様の下限を得ることができない本質的な違いは何ですか？ 質問はこの質問へのコメントに触発されます。

22 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions  monotone  arithmetic-circuits 

ここ数ヶ月、社会的選択、矢の定理、および関連する結果について自分自身で講義を始めました。 独創的な結果について読んだ後、半順序の優先順位で何が起こるかについて自問しました。答えはピニらの論文にあります。：部分的に順序付けられた設定の集約：不可能性と可能性の結果。それから、許容可能な社会的選択機能の特性を見つけることが可能かどうか疑問に思いました。そして再び誰かがそれをしました（MosselとTamuzによるArrowの定理の条件を満足する関数の完全な特徴付け）。完全なリストは提供しませんが、社会的選択に関連する問題のいずれかは、過去5年間ですべて解決したと考えることができます:( それで、フィールドで最近何が行われ、何が行われなかったかについての調査があるかどうか知っていますか？ 別の質問：複雑さと社会的選択に関連する問題（たとえば、少なくとも1つの社会的選択機能と互換性のあるユーザーの最大のサブセットを見つける複雑さ、またはこの種の質問）を知っていますか？

22 co.combinatorics  gt.game-theory  boolean-functions  social-sciences 

（妥当な）均一にランダムなブール関数をサンプリングする方法があるf:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}を持つ度実多項式として以下であるddd？ EDIT：ニッサンとSzegedyは程度の機能が示されているdddせいぜいに依存d2dd2dd2^d座標我々は仮定することができるので、n≤d2dn≤d2dn \leq d2^d。私が見るような問題は、以下の通りである：1）一方で、我々は上のランダムなブール関数を選ぶ場合はd2dd2dd2^d座標、その程度は近くになりますd2dd2dd2^dはるかに高いよりも、ddd。2）一方、次数各係数をdddランダムに最大で選択すると、関数はブール値になりません。 質問は次のとおりです。これらの2つの問題を回避する低次ブール関数をサンプリングする方法はありますか？

21 randomness  boolean-functions  bounded-degree 

ベクトル空間の基本的な性質は、ベクトル空間ということであるV⊆Fn2V⊆F2nV \subseteq \mathbb{F}_2^n次元のによって特徴付けることができるであり、存在する-線形独立線形制約が線形独立なベクトルが直交している。、D 、D 、W 1、... 、W D ∈ F N 2 Vn−dn−dn-dddddddw1,…,wd∈Fn2w1,…,wd∈F2nw_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^nVVV フーリエ変換の観点から、これは、インジケータ関数と言うと等価であるのしている線形独立非ゼロのフーリエ係数を。は合計で非ゼロフーリエ係数がありますが、それらのうちだけが線形独立であることに注意してください。 V d1V1V1_VVVVddd 2 d d1V1V1_V2d2d2^dddd このベクトル空間のプロパティの近似バージョンを探しています。具体的には、次の形式のステートメントを探しています。 LETサイズである。次に、インジケータ機能有するせいぜい線形独立絶対値が少なくともあるフーリエ係数。 2 N - D 1 S D ⋅ ログ（1 / ε ）S⊆Fn2S⊆F2nS \subseteq \mathbb{F}_2^n2n−d2n−d2^{n-d}1S1S1_Sd⋅log(1/ε)d⋅log⁡(1/ε)d\cdot\log(1/\varepsilon) εε\varepsilon この質問は、「構造対ランダム性」の観点から見ることができます-直感的に、このような主張は、すべての大きなセットがベクトル空間と小さなバイアスされたセットの合計に分解できることを示しています。すべての関数は、大きなフーリエを持つ「線形部分」に分解できることがよく知られています係数、および小さなバイアスを持つ「疑似ランダム部分」。私の質問は、線形部分が線形独立フーリエ係数の対数のみを持っているかどうかを尋ねます。p o l y（1 / ε ）f:Fn2→F2f:F2n→F2f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2poly(1/ε)poly(1/ε)\mathrm{poly}(1/\varepsilon)

19 co.combinatorics  linear-algebra  boolean-functions  fourier-analysis 

回路で計算されたフーリエウェイトが小さなサイズのセット（または次数の低い項）に集中している関数はすべてありますか？A C0AC0\mathsf{AC}^0

18 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions  fourier-analysis 

計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

XOR化は、すべての変数を異なる変数のXORで置き換えることにより、ブール関数または式をより難しくする手法です。 K ≥ 2 X 1バツバツxK ≥ 2k≥2k\geq 2バツ1⊕ ··· ⊕ Xkバツ1⊕…⊕バツkx_1 \oplus \ldots \oplus x_k 私は、主に解像度ベースの証明システムの空間の下限を取得するために、たとえば論文の中で、証明の複雑さでこの手法を使用することを知っています。 エリ・ベン・サッソン。解像度とサイズスペースのトレードオフ。STOC 2002、457-464。 エリ・ベン・サッソンとヤコブ・ノードストローム。証明の複雑さにおけるスペースの理解：置換による分離とトレードオフ。ICS 2011、401-416。 他の分野でこの技術の他の用途はありますか？

18 cc.complexity-theory  reference-request  boolean-functions  proof-complexity 

感度とブロック感度に関する研究の一部は、がよりも多項式的に大きいという推測を解決するために、s(f)s(f)s(f)と間にできるだけ大きなギャップがある関数を調べることを目的としています。bs(f)bs(f)bs(f)bs(f)bs(f)bs(f)s(f)s(f)s(f)。反対方向はどうですか？のs(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)関数について知られていることは何ですか？ 通常、定数関数には0=s(f)=bs(f)0=s(f)=bs(f)0=s(f)=bs(f)ます。同様に、のs(f)=ns(f)=ns(f) = n関数もs(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)持ちます。簡単ではありませんが、単調関数もこの等式を満たしていることを示すのはそれほど難しくありません。を持つ他の素晴らしいクラスの関数はありますか？完全な特性評価が理想的です。要件をさらに強化してs(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)s0(f)=bs0(f)s0(f)=bs0(f)s^0(f) = bs^0(f)およびs1(f)=bs1(f)s1(f)=bs1(f)s^1(f) = bs^1(f)？ この質問の動機は、感度がブロック感度にどのように関連するかについてのいくつかの直観を得ることです。 定義 ましょうf:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}上のブール関数であるnnnビットワード。以下のためx∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^nとA⊆{0,1,…,n}A⊆{0,1,…,n}A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}、聞かせてxAxAx^A表すnnnから得られたビットワードxxxによって指定されたビット反転させることによってAAA。A = {の場合A={i}A={i}A = \{i\}、これを単にxixix^iとして示します。 我々は定義の感度fff時xxxとしてs （f、x ）= ＃{ i | f（x私）≠ f（x ）}s(f,x)=#{i|f(xi)≠f(x)}s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}。つまり、fの出力を反転するために反転できるのはバツxxのビット数です。fの感度をs （f ）= max x s （f 、x …

17 circuit-complexity  boolean-functions 

例で問題を紹介します。独立した質問の特定のセットで構成される試験を設計しているとしましょう（受験者は正しいか間違っているかを判断できます）。各質問に与えるスコアを決定します。ルールでは、合計スコアが特定のしきい値を超える候補者は合格し、他の候補者は失敗します。nnn 実際、あなたはこれについて非常に徹底しており、すべての可能な結果を想定し、このパフォーマンスの候補者が合格するか失敗するかをそれぞれについて決定しました。したがって、ブール関数があり、候補者が正確な答えに応じて合格するか失敗するかを示します。もちろん、この関数は単調である必要があります。一連の質問を正しく取得すると合格になり、スーパーセットを適切に取得すると合格する必要があります。 F ：{ 0 、1 } のn → { 0 、1 }2n2n2^nf：{ 0 、1 }n→ { 0 、1 }f：{0、1}n→{0、1}f : \{0, 1\}^n \to \{0, 1\} 質問に与えるスコア（正の実数）としきい値を決定して、関数がルールによって正確にキャプチャされるようにすることができます。「正しい質問のスコアの合計がしきい値を超える場合、候補は合格します」 ？（もちろん、スコアを定数で乗算するまで、一般性を損なうことなくしきい値を1にすることができます。）fff 正式：単調なブール関数ありますかすべての、場合、ます。W 1、... 、W N ∈ R + V ∈ { 0 、1 } nは F （V ）= 1 ΣをIをwはiがV I ≥ 1f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f: …

16 reference-request  boolean-functions 

私は、しきい値ゲートを介して表現可能な関数の複雑さを理解しようとしていますが、これがつながりました。特に、私はこの分野の専門家ではないので、内部での学習について現在知られていることに興味があります。TC0TC0\mathsf{TC}^0TC0TC0\mathsf{TC}^0 私がこれまでに発見したことは： すべての は、Linial-Mansour-Nisanを介した一様分布下の準多項式時間で学習できます。AC0AC0\mathsf{AC}^0 彼らの論文はまた、擬似ランダム関数発生防止の存在を学習することを指摘し、この、それ以降の結果と結合Naor-Reingoldこと是認のPRFGsが、ことを示唆している限界を表します学習可能性の（少なくともPACの意味で）TC0TC0\mathsf{TC}^0TC0TC0\mathsf{TC}^0 Jackson / Klivans / Servedioによる2002年の論文には、フラグメントを学習できる（せいぜい多対数の多数決ゲートがある）。TC0TC0\mathsf{TC}^0 私は通常のグーグルの学問をしましたが、cstheoryの集合的な知恵がより速い答えを持っているかもしれないことを望んでいます： 学習の複雑さを理解するために、どのクラスが効率的な学習者を挟んでいるかという点で、私が最新技術について説明したことはありますか？そして、風景の現在の状態をマップする良い調査/参照がありますか？

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