XORificationの使用

XOR化は、すべての変数を異なる変数のXORで置き換えることにより、ブール関数または式をより難しくする手法です。 K ≥ 2 X $x$$k\geq 2$$x_1 \oplus \ldots \oplus x_k$

私は、主に解像度ベースの証明システムの空間の下限を取得するために、たとえば論文の中で、証明の複雑さでこの手法を使用することを知っています。

• エリ・ベン・サッソン。解像度とサイズスペースのトレードオフ。STOC 2002、457-464。
• エリ・ベン・サッソンとヤコブ・ノードストローム。証明の複雑さにおけるスペースの理解：置換による分離とトレードオフ。ICS 2011、401-416。

他の分野でこの技術の他の用途はありますか？

これは、クラスで現在取り上げているやや関連性の高い例です。

「ストレージアクセス機能」は、ビットで次のように定義されます。$2^k+k$

$SA(x_1,...,x_{2^k}, a_1,...,a_k) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$

ここで、は、ストリングa 1 ⋯ a kに対応する{ 1 、… 、2 k }の一意の整数です。$bin(a_1 \cdots a_k)$$\{1,\ldots,2^k\}$$a_1 \cdots a_k$

$SA$$O(k \cdot 2^k)$$2^k$$k$$a_i$$1$$x_i$

$2^{k+1}$$2^{3k}$

$SA(x_1,...,x_{2^k}, \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{1,j},..., \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{k,j}) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$

これは、文献ではしばしば「アンドレーエフの機能」と呼ばれています。ハスタドは、キュービックサイズの式が本質的に必要であることを証明しました（アンドレエフの議論の構成要素を改善します）。（ほぼ立方体サイズの式を見つけることも難しくありません。）

$X$$Y = X_1 \oplus X_2 \oplus \cdots \oplus X_k$$k$$X_i$$X$

最近では、この手法は暗号化では非常に標準的であり、通常は弱い構成（コミットスキーム、忘却型転送プロトコルなど）を強力なものに増幅するためのものです。