モノトーン演算回路

一般的な算術回路についての知識の状態は、ブール回路についての知識の状態と似ているようです。つまり、良い下限がありません。一方、単調なブール回路には指数サイズの下限があります。

単調な算術回路について何を知っていますか？それらに同様の良い下限がありますか？そうでない場合、モノトーン演算回路の同様の下限を得ることができない本質的な違いは何ですか？

質問はこの質問へのコメントに触発されます。

モノトーン演算回路の下限は、キャンセルが禁止されているため、より簡単になります。一方、単調な実数値関数がゲートとして許可されている場合でも、ブール関数を計算する回路の指数下限を証明できます（本のセクション9.6を参照）。$g:R\times R\to R$

単調にもかかわらず、演算回路は単調よりも弱いブール回路（後者では、我々はキャンセルを持っ∧ =と∨ （∧のB ）= A）、これらの回路が原因との関係で興味深い動的プログラミング（DP）アルゴリズム。そのようなアルゴリズムのほとんどは、半環（+ 、min ）または（+ 、max ）上の回路でシミュレートできます。$a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$$(+,\min)$$(+,\max)$。ゲートは、アルゴリズムで使用されるサブ問題に対応します。JerrumとSnir（V Vinayの論文で）が実際に証明しているのは、Min Weight Perfect Matching（およびTSP問題）のDPアルゴリズムが指数関数的に多くの副問題を生成しなければならないことです。しかし、パーフェクトマスチングの問題は「DPの欠陥」ではありません（ベルマンの最適性の原理を満たしていません）。この問題には、線形計画法（DPではない）の方がはるかに適しています。

それでは、適度に小さいDPアルゴリズムで解決できる最適化問題についてはどうでしょうか？それらについても下限を証明できますか？この点で非常に興味深いのは、カーの古い結果です（彼のphdの定理6.1 ）。これは、すべての対最短経路問題（APSP）のための古典的なフロイド・ウォーシャルDPアルゴリズムがあることを意味最適：副問題が必要です。さらに興味深いのは、Kerrの引数が非常に単純であることです（JerrumとSnirが使用したものよりもはるかに単純です）。分配の公理 a + min （b 、c ）= min （$\Omega(n^3)$、および引数の1つを 0に設定することでmin-gatesを「殺す」可能性。このようにして、2つの n × n行列を乗算するには n 3 plus-gatesが必要であることを証明しますセミリング（+ 、min ）。セクト。Aho、Hopcroft、Ullmanの本の5.9では、この問題はAPSPの問題と同等であることが示されています。$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$$n\times n$$(+,\min)$

次の質問は、シングルソース最短パス（SSSP）の問題はどうでしょうか？この（一見「単純な」）問題のBellman-Ford DPアルゴリズムもゲートを使用します。これは最適ですか？これまでのところ、最短経路問題のこれら2つのバージョン間の分離は知られていません。これらの線に沿って、バージニアとライアンウィリアムズの興味深い論文を参照してください。そのため、SSSPの（+ 、min ） -circuitsのΩ （n 3）の下限は素晴らしい結果になります。次の質問は、ナップザックの下限についてはどうでしょうか？このドラフトで$O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$ナップザックの下限は、+ -gates の使用が制限されている回路のより弱いモデルで証明されています。付録にカーの証明が再現されています。$(+,\max)$$+$

はい。良い下限を知っていて、かなり以前から知っていました。

JerrumとSnirは、1980年までにパーマネントの単調な算術回路の指数下限を証明しました。Valiantは、マイナスゲートが1つでも指数関数的に強力であることを示しました。

（単調な）演算回路の詳細については、Shpilkaの 、演算回路に関する調査を。

$2k$$k$

これはカウントされますか：基本的な範囲検索の問題に対するシャゼルのセミグループ下限（オフライン設定で）。すべての下限はほぼ最適です（下限が多項式の場合は対数項まで、下限が多対数の場合は対数項まで）。