ブール関数のフーリエ解析が「機能する」のはなぜですか？

長年にわたって、離散フーリエ解析を使用して多くのTCS定理が証明されることに慣れてきました。Walsh-Fourier（アダマール）変換は、プロパティテスト、擬似ランダム性、通信の複雑さ、量子コンピューティングなど、TCSのほぼすべてのサブフィールドで役立ちます。

問題に取り組むとき、ブール関数のフーリエ解析を非常に便利なツールとして使用することに快適になりましたが、フーリエ解析を使用するといくつかの素晴らしい結果が得られるかなり良い予感がありますが。この基礎の変更が非常に役立つのは、それが何であるかが本当によく分からないことを認めなければなりません。

TCSの研究において、なぜフーリエ解析が実り多いのかについて、誰にも直観がありますか？フーリエ展開を記述し、いくつかの操作を実行することで、なぜ一見困難な問題が数多く解決されるのでしょうか？

注：私のこれまでの主な直観は、それがわずかであっても、多項式の振る舞いをかなりよく理解していること、およびフーリエ変換が関数を多重線形多項式として見る自然な方法であるということです。しかし、なぜ具体的にこのベースですか？パリティのベースでこれほどユニークなものは何ですか？

Guy Kindlerから学んだ私の視点はここにありますが、経験豊富な人ならおそらくもっと良い答えを出すことができます：関数の線形空間を考えてください。そして、上記のように関数を関数マップする（の形式）の線形演算子を考えます。TCSの質問の多くには、そのような演算子が特定の機能に与える影響を分析するという根本的なニーズがあります。$f: \{0,1\}^n\to\mathbb{R}$$\sigma_w$$w\in\{0,1\}^n$$f(x)$$f(x+w)$

ここで重要なのは、フーリエ基底は、これらすべての演算子を同時に対角化する基底であり、これらの演算子の分析がはるかに簡単になるということです。より一般的には、フーリエ基底は畳み込み演算子を対角化するため、これらの質問の多くの根底にあります。したがって、これらの演算子を分析する必要がある場合はいつでも、フーリエ解析が効果的である可能性があります。

ところで、フーリエ解析は、有限群の表現理論の特別な場合にすぎません。この理論は、関数のより一般的な空間を考慮しますここで、は有限グループであり、をマッピングする（）形式の演算子、理論により、そのような演算子の分析を容易にする基礎を見つけることができます-一般的なグループでは実際に演算子を対角化することはできませんが。$f:G\to \mathbb{C}$$G$$\sigma_h$$h\in G$$f(x)$$f(x\cdot h)$

この質問に対する別の見解があります。

擬似ブール関数がkで制限されていると仮定すると、関数のウォルシュ多項式表現はk個のサブ関数に分解できます。すべての線形項は1つのサブ関数に、ペアワイズ相互作用はすべて1つのサブ関数に、次に3方向相互作用などに収集されます。

これらのサブ関数はそれぞれ「基本的なランドスケープ」であるため、各サブ関数はラプラシアン隣接行列の固有ベクトル（つまり、ハミング距離1近傍）です。各サブ関数には、すべての基本的なランドスケープで見られるタイプの対応する「波動方程式」があります。今を除いて、組み合わせて作用するk波動方程式があります。

波動方程式を知ることで、かなり正確な方法で対応する探索空間を統計的に特徴付けることができます。任意の（指数関数的に大きい）ハミングボールと探索空間の任意の超平面で平均と分散およびスキューを計算できます。

エレメンタリーランドスケープに関するPeter Stadlerの研究を参照してください。

Andrew Suttonと私（Darrell Whitley）は、これらの方法を使用して、疑似ブール最適化のローカル検索アルゴリズムを理解および改善することに取り組んできました。Walsh多項式を使用して、ローカル検索アルゴリズムの改善された動きを自動的に識別することができます。探索空間の近傍をランダムに列挙する必要はありません。ウォルシュ分析により、改善の動きがどこにあるかを直接知ることができます。

比較的若く、非常に活発な研究分野であるため、この質問に対する優れた答えはおそらくまだ存在していません。たとえば、1987年のブール関数に関するIngo Wegenersの包括的な本には、この主題に関するものは何もありません（DFTの回路の複雑さの分析を除く）。

単純な直観または推測では、高次の大きなフーリエ係数は、多くの入力変数を考慮する必要があり、したがって多くのゲートを必要とするサブ関数の存在を示しているように見えます。すなわち、フーリエ展開は、ブール関数の硬さを定量的に測定する自然な方法のようです。これが直接証明されたのを見たことはありませんが、多くの結果で示唆されたと思います。たとえば、Khrapchenkosの下限はフーリエ係数に関連します。[1]

別の大まかな類推は、フーリエ解析が広範囲に使用されるある程度まで、EEまたは他の工学分野から借りることができます。EEフィルター/信号処理によく使用されます。フーリエ係数は、フィルターの特定の「帯域」を表します。また、「ノイズ」が特定の周波数範囲、例えば低音または高音で現れるように見えるという話もあります。CSでは、「ノイズ」の類推は「ランダム性」ですが、多くの研究（たとえば[4]のマイルストーンに到達）から、ランダム性は基本的に複雑性と同じであることも明らかです。（場合によっては、「エントロピー」も同じコンテキストで表示されます。）フーリエ解析は、CS設定でも「ノイズ」を調べるのに適しているようです。[2]

別の直観や絵は、投票/選択理論に由来します。すなわち、投票の分析は、関数の一種の分解システムです。これは、数学的分析の高さに達し、明らかにブール関数の多くのフーリエ分析の使用に先行するいくつかの投票理論を活用しています。

また、対称性の概念は、フーリエ解析において最も重要であると思われます。関数の「対称性」が高いほど、フーリエ係数が相殺され、関数の計算が「単純」になります。また、「ランダム」で関数が複雑になるほど、相殺される係数は少なくなります。言い換えると、対称性と単純さ、そして逆に、関数の非対称性と複雑性は、フーリエ解析が測定できるように調整されているようです。

[1] Bernasconi、Codenotti、Simonによるブール関数のフーリエ解析について

[2] De Wolfによるブールキューブ（2008）のフーリエ解析の簡単な紹介

[3] オドネルによるブール関数の解析に関するいくつかのトピック

[4] Razborov＆Rudichによる自然証拠