ここ数ヶ月、社会的選択、矢の定理、および関連する結果について自分自身で講義を始めました。
独創的な結果について読んだ後、半順序の優先順位で何が起こるかについて自問しました。答えはピニらの論文にあります。：部分的に順序付けられた設定の集約：不可能性と可能性の結果。それから、許容可能な社会的選択機能の特性を見つけることが可能かどうか疑問に思いました。そして再び誰かがそれをしました（MosselとTamuzによるArrowの定理の条件を満足する関数の完全な特徴付け）。完全なリストは提供しませんが、社会的選択に関連する問題のいずれかは、過去5年間ですべて解決したと考えることができます:(
それで、フィールドで最近何が行われ、何が行われなかったかについての調査があるかどうか知っていますか？
別の質問：複雑さと社会的選択に関連する問題（たとえば、少なくとも1つの社会的選択機能と互換性のあるユーザーの最大のサブセットを見つける複雑さ、またはこの種の質問）を知っていますか？
回答:
CACMの最新号には、これを正確に行う記事があるため、質問のタイミングは非常に適切です。http：//cacm.acm.org/magazines/2010/11/100640-using-complexity-to-protect-elections /フルテキスト
手短に言えば、アローの定理によって原則的に破ることができるクラッキング投票メカニズムの実際の硬さ、最悪の場合と分布の仮定の下でのコニツァー、トービーなどによる多くの研究があります。
社会的選択理論と呼ばれるようになった多くのトピックに関連する多くの複雑性の問題があります。これらには、特定の方法で特定の種類の投票を組み合わせて社会の選択肢にする際に、誰が勝者を決めるかという複雑さが含まれます。特定の人にとってより良い結果を得るために特定の方法が使用されているときに他の有権者の選好に関する情報が利用可能な場合、（自分の真の選好を使用するのではなく）戦略的に投票する方法を見つけることに関する複雑な問題もありますまたは人々のグループ。ライン投票システムで「安全」に設計する際にも複雑さが生じます。
これらは社会的選択に関する膨大な文献ですが、興味のある人のために始めるには良い本がいくつかあります：
Donald Saari、Decisions and Elections、Cambridge U. Press、2001年。
Donald Saari、Disposing Dictators、Demystifying Voting Paradoxes、Cambridge U. Press、2008年。
Alan Taylor、Social Choice and the Mathematics of Manipulation、Cambridge U.Press、2005年
社会的選択の計算面に関する多くの最近の開発がありました。次のWebサイトには、関連する文献への多くのポインタがあります。
アローの定理は古典的な定理です。社会選択理論家にとって（または少なくとも私にとって）、未解決の問題を見つけることも容易ではありません。
学生は経済学を勉強しに私の一般的なアドバイスは：「定理から滞在方法、あなたには、いくつかの最近のアイデアへのあなたの貢献を関連付けることができない限り（例えば、最近提案されている公理、ファッションでビットを研究されているソリューション、および行動の仮定） 。Arrowの定理とは関係のない問題を見つけてみてください。社会的選択理論の中にも、そのような問題はたくさんあります。」どんな種類の問題を追求したいのかを一般的に理解した後でのみ、社会的選択と福祉のハンドブックをチェックしてください。
計算上の問題は、そのような「最近の」アイデアの1つかもしれません。複雑さ（ルールまたは操作またはソリューションなど）の調査はコンピューター科学者（他者によって示唆された）の主な関心事ですが、出口論文（Mihara、1997、Arrow's Theorem and Turing Computabilityなど）があります、Economic Theory 10：257-276）は、Arrowの枠組み内での計算可能性の（基本的な？）問題を研究してい ます。;-)
あなたが提案した2つの問題についてコメントさせてください。
社会的選択理論家が半順序を考慮することを怠ったかどうかはわかりません。もしそうなら、おそらく「部分性」は厳しい選好で表現できるからだろう（熊部と三原のように、非周期性のない選好集積理論：多数の不満のないコア、ゲームと経済行動）。（その場合、弱い選好Rを忘れるか、別の方法で定義する[完全にならないように]：xRy [xはyよりも弱い]を定義することにより、yPxではなく[xよりもyが優先]、P Rが完全な場合、非対称です！）
一部の著者はそうではありませんが、ほとんどの社会的選択理論家は、独裁的な社会福祉機能がIIAを満たすと主張しないように十分注意していると思います。たとえば、IIAを満たす社会福祉機能の中で、ルールは特定の条件を満たす場合に独裁的であると私は言います（Mihara、1997）。したがって、彼らは問題が開かれていることを知っていましたが、おそらく独裁的な機能をさらに分類することに興味がなかったでしょう。（たぶん、モスセルとタムズは、ミハラが引用したアームストロングの正誤表についてコメントすることができます。それは、独裁者またはウルトラフィルターのシーケンスを識別します。）