真のフーリエスペクトルと偽のスペクトルを区別する複雑さは何ですか？

$PH$$f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}$$g$$h$

$f$$F:\{0,1\}^n \to R$

$F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x)$

一または真のフーリエスペクトルであると他の一つは、フーリエが不明ランダムブール関数に属するスペクトルだけの偽物です。$g$$h$$f$

それを示すために難しいことではありません、マシンをすることができていなくてもおおよその任意のため。$PH$$F(s)$$s$

どれが真の成功確率であるかを決定するクエリの複雑さは何ですか？

この問題はでていない場合ので、それは、私には興味深いものです、その後、1がに対するOracleの相対存在することを示すことができるのないサブセットで。$PH$$BQP$$PH$

遅れてすみません-それは素晴らしい質問です！他の人がすでに指摘したように、それがまさに私がBQP対PH論文で質問をした理由であり、2008年に成功せずに4か月または5か月費やした理由です。質問に答える1つの方法は私が「一般化されたリニアル・ニサン予想」と呼んだより一般的な声明---しかし、残念なことに、その予想は、少なくとも深さ3以上の回路では間違っていることが判明しました。（少なくとも、BQPとAMの間のオラクル分離をもたらす深度2回路については、おそらく真実だと思います。）BQPとPHの間のオラクル分離に向けたより最近のアイデア（最新の、私の知る限り）については、Fefferman、Shaltiel、Umansによる素敵なフォローアップペーパーをご覧ください。

スコットアーロンソンは、この質問に答えるのに世界一の人物かもしれません。おそらく、この質問が投稿された後、彼はより良い答えを得るでしょう。彼は、この投稿された質問が非常にわずかな変形であると思われる元の問題、いわゆるフーリエチェックの問題を提案しました（コメントの詳細を参照）。この問題は、QM複雑性理論の重要な未解決問題である2つの重要な複雑性クラスPHとBQPを分離することに密接に関連/ほぼ同等であり、おそらく非常に困難です。アーロンソン以外の誰でも、おそらく彼でさえも、この問題に関する多くの直接/さらなる研究がこれまでに行われたようには見えません（明らかに2歳以上）。

しかし、ここでは、アーロンソン以外の誰かによる少なくとも1つの論文があり、いくつかの新しい結果を伴う推測/問題に焦点を当てています。

指数関数的高速化は Fernando GSLBrandãoおよびMichałHorodeckiによるジェネリックです

私たちの論文[4]では、フーリエチェック問題[1]を一般化し、問題の定義とそれを解く量子アルゴリズムの両方で、フーリエ変換を量子回路の大きなクラスに置き換えることができることを示します。これらには、任意の（おそらく非アーベル）有限群に対するフーリエ変換と、量子回路のセット上の自然分布からのほぼすべての十分に長い量子回路の両方が含まれます。このようなすべての回路について、量子的および事後選択された古典的なクエリの複雑さの指数関数的な分離を取得します。