実多項式としての低次のランダム関数

（妥当な）均一にランダムなブール関数をサンプリングする方法がある $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ を持つ度実多項式として以下である $d$ ？

EDIT：ニッサンとSzegedyは程度の機能が示されている $d$ せいぜいに依存 $d2^d$ 座標我々は仮定することができるので、 $n \leq d2^d$ 。私が見るような問題は、以下の通りである：1）一方で、我々は上のランダムなブール関数を選ぶ場合は $d2^d$ 座標、その程度は近くになります $d2^d$ はるかに高いよりも、 $d$ 。2）一方、次数各係数を $d$ ランダムに最大で選択すると、関数はブール値になりません。

質問は次のとおりです。これらの2つの問題を回避する低次ブール関数をサンプリングする方法はありますか？

randomness boolean-functions bounded-degree

— イゴール・シンカール
ソース

あなたは、実際の関数は度の実多項式の制限になりたいです

0-1の入力に、またはあなたはそれがそのようにしたいん

IFF

、いくつかの実多項式のため

の高々度

？または、他の何か？

d

$d$

f (x) = 1

$f(x) = 1$

p (x) > 0

$p(x) > 0$

p

$p$

d

$d$

— ジョシュアグロチョウ

@JoshuaGrochowフーリエ展開の次数が

である関数が必要です。それが最初の選択肢です。

d

$d$

— イゴールシンカー

あなたのモデルは何ですか？サンプリングされた関数を書き留めるには

時間かかります。フーリエ展開を出力する場合は

です。さ

固定定数を？

2^{n}

$2^n$

n^{O (d)}

$n^{O(d)}$

d

$d$

— MCH

質問に詳細を追加しました。

— イゴールシンカー

@MCH関数が次数

場合

d

$d$ （レベル

より上の重みが0の場合

d

$d$ ）、

d 2^{d}

$d2^d$ 座標以上に依存することはできません。これは、NisanとSzegedyによる結果です。

特別な場合を考えてください

d = 1

$d=1$ 。この場合、関数は（最大で）1座標に依存することがわかります。

— イゴールシンカー

些細な試みに打ち勝つアルゴリズムを次に示します。

以下は周知の事実（オドネルの本演習1.12）である：場合 $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ 程度有するブール関数である $\le d$ 多項式、その後、すべてのフーリエ係数などを $f$ 、の整数倍である。Cauchy-SchwarzとParsevalを使用すると、最大非ゼロフーリエ係数と $\hat{f}(S)$ $2^{-d}$ $4^d$ $\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$ 。

これは、サンプリング方法を示唆しています-

ランダム非負整数を選ぶ全セットのせいぜいサイズの、合計最大。 $a_S$ $S\subseteq[n]$ $d$ $\le 4^d$
ましょう $f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$ 。
$f$ がブールであることを確認します。もしそうなら、 $f$ 返します。それ以外の場合は、 $1$ に戻ります。

$\le d$ $f$ $f$ $\le d$

1 / (\binom{(\binom{n}{\leq d}) + 4^{d}}{4^{d}}) = 1 / O (n / d)^{d 4^{d}} .

$1/\binom{\binom{n}{\le d}+4^d}{4^d} =1/O(n/d)^{d4^d}.$

O (n / d)^{d 4^{d}}

$O(n/d)^{d4^d}$

手順3の実行方法を示すために残りますを定義できます。確認してください（すべてのブール関数に対してNisan-Szegedyが保持する必要があります）そして、の変数へのすべての可能な割り当てでを評価します。これは時間ます。GurとTamuzは、このタスクに対してより高速なランダム化アルゴリズムを提供しますが、この部分は時間の複雑さを支配しないため、これで十分です。 $A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$ $|A| \le d 2^d$ $f$ $A$ $2^{d 2^d}$

全体的に、アルゴリズムは次数のランダムなサンプルを生成します $\le d$ $O(\frac{n}{d})^{d4^d}$ $n \le d2^d$ $2^{O(d^2 4^d)}$

$\le d$ $1/2^{2^n}$

— アヴィシェイ・タル
ソース

d

$d$

n = 10 d 2^{d}

$n = 10d2^{d}$