しきい値ゲートが1つしかない算術回路
制限するとき000 - 111入力、すべての{+,×}{+,×}\{+,\times\} -circuit F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)ある関数計算F:{0,1}n→NF:{0,1}n→NF:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}。ブール関数を取得するには、出力ゲートとして1つのfanin-1しきい値ゲートを追加するだけです。入力上のa∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n、得られた閾値 {+,×}{+,×}\{+,\times\} -回路は、次に出力111であればF(a)≥tF(a)≥tF(a)\geq t、及び出力000であればF(a)≤t−1F(a)≤t−1F(a)\leq t-1。しきい値t=tnt=tnt=t_nは任意の正の整数にすることができ、これは入力値ではなく依存する場合nnnがあります。得られた回路は、いくつかの（単調）を計算ブール関数 F′:{0,1}n→{0,1}F′:{0,1}n→{0,1}F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}。 質問：しきい値{+,×}{+,×}\{+,\times\} -circuitsは{∨,∧}{∨,∧}\{\lor,\land\} -circuits によって効率的にシミュレート できますか？ 「効率的に」とは、「最大で多項式サイズの増加を伴う」ことを意味します。答えは、しきい値のために「はい」と明らかであるt=1t=1t=1：ちょうど置き換える+++によって∨∨\lor、××\timesで∧∧\land、そして最後のしきい値ゲートを削除します。つまり、{∨,∧}{∨,∧}\{\lor,\land\}回路は実際にはしきい値111 {+,×}{+,×}\{+,\times\}回路です。しかし、より大きなしきい値、たとえばt=2t=2t=2どうでしょうか？ 一つは、算術類似定義することができる#C#C\#C最もブール回路のクラスCCC単に使用することによって+++ 、代わりにOR ××\times代わりにAND、及び1−xi1−xi1-x_i代わりにx¯ix¯i\bar{x}_i。たとえば、#AC0#AC0\#AC^0回路は{+,×}{+,×}\{+,\times\} -無限のファンイン+++および××\timesゲートを持つ一定の深さの回路であり、入力xixix_iおよび1−xi1−xi1-x_iです。 アグラワル、Allenderとダッタは、示されたその閾値#AC0#AC0\#AC^0 = TC0TC0TC^0。（AC0AC0AC^0自体はT C 0の適切なサブセットであることを思い出してください。たとえば、マジョリティ関数を使用してください。）つまり、一定の深さのしきい値回路は、一定の深さ{ + 、- 、× } -単一のしきい値ゲートを備えた回路！ただし、私の質問は約あることを単調回路（ノーマイナス「-」ゲートとして、さらにはありません1 -TC0TC0TC^0{+,−,×}{+,−,×}\{+,-,\times\}−−-1−xi1−xi1-x_i入力として x i）。その場合も、1つの（最後の）しきい値ゲートを非常に強力にすることができますか？私はこのことを知らないので、関連するポインタは大歓迎です。 NBはまだ別の興味深い関連ある結果 によるアーノルドRosenbloomに：一つだけで-circuits 単調関数G ：N 2 → { 0 、1 }を持つすべてのスライス関数を計算することができ、出力ゲートとしてO （N ）ゲート。スライス機能は、いくつかの固定のために、単調ブール関数であるKを出力、0（それぞれ1未満（それぞれ、複数）を有する全ての入力に）K{+,×}{+,×}\{+,\times\}g:N2→{0,1}g:N2→{0,1}g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}O(n)O(n)O(n)kkk000111kkkもの。一方、簡単なカウントは、ほとんどのスライス関数が一般的な -指数サイズの回路を必要とすることを示しています。したがって、1つの「罪のない」追加出力ゲートは、単調な回路を全能にすることができます！私の質問は、このときにも起こることができるかどうかを尋ねるG ：N …