タグ付けされた質問 「set-cover」

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有限VC次元でのヒッティングセットのパラメーター化された複雑さ
私は、d次元のヒッティングセット問題と呼ばれるもののパラメーター化された複雑さに興味があります。正の整数k、XにはRのすべての範囲にヒットするサイズkのサブセットが含まれていますか？問題のパラメーター化されたバージョンは、kによってパラメーター化されます。 dのどの値に対してd次元ヒッティングセット問題 FPTで？ W [1]で？ W [1] -hard？ W [2] -hard？ 私が知っていることは、次のように要約することができます： 1次元ヒッティングセットはPにあり、したがってFPTにあります。Sの次元が1である場合、サイズ2のヒットセットがあるか、Sの入射行列が完全に均衡していることを示すことは難しくありません。どちらの場合でも、多項式時間で最小ヒットセットを見つけることができます。 4次元ヒッティングセットはW [1] -hardです。Dom、Fellows、およびRosamond [PDF]は、軸平行線でR ^ 2の軸平行長方形を突き刺す問題のW [1]硬度を証明しました。これは、VC次元4の範囲空間でヒッティングセットとして定式化できます。 dに制限がない場合、W [2] -completeおよびNP-completeである標準的なHitting Set問題があります。 LangermanとMorin [citeseer link]は、制限された次元のSet CoverにFPTアルゴリズムを提供しますが、それらの有界次元モデルは有界VC次元で定義されたモデルと同じではありません。彼らのモデルには、例えば、ポイントで半空間をヒットする問題は含まれていないようですが、モデルのプロトタイプ問題は、超平面をポイントでヒットすることと同等です。
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有界カーディナリティ有界周波数セットカバー：近似の硬さ
次の制限がある最小セットカバー問題を考慮してください。各セットには最大で要素が含まれ、ユニバースの各要素は最大で個のセットで発生します。fkkkfff 例：およびは、最大次数4のグラフの最小頂点被覆問題と同等です。f = 2k = 4k=4k = 4f= 2f=2f = 2 ましょう見つけるように最大値であるパラメータと最小セットのカバー問題の-approximationおよび NP困難です。a （k 、f ）k fa （k 、f）> 1a(k,f)>1a(k,f) > 1a （k 、f）a(k,f)a(k,f)kkkfff 例：（Berman＆Karpinski 1999）。（4 、2 ）≥ 1.0128a(4,2)≥1.0128a(4,2) \ge 1.0128 質問：既知の最強の下限を要約したリファレンスはありますか？特に、と両方が小さいがの場合の具体的な値に興味があります。k f f > 2a （k 、f）a(k,f)a(k,f)kkkffff> 2f>2f > 2 セットカバー問題の制限付きバージョンは、多くの場合、削減に便利です。通常、と値の選択にはある程度の自由度があり、詳細情報は、最も強い硬度結果を提供する適切な値を選択するのに役立ちます。参考資料ここでは、ここでは、とここで開始点を提供していますが、情報がやや時代遅れと断片的です。より完全で最新のソースがあるかどうか疑問に思っていましたか？f a （k 、f ）kkkfffa （k 、f）a(k,f)a(k,f)
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計算可能な数が有理数か整数かをテストすることはできますか？
計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？
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順列行列のカバーを設定
nxnの順列行列のセットS（n！の可能な順列行列のごく一部です）が与えられた場合、Tの行列の追加がすべての位置で少なくとも1になるように、Sの最小サイズのサブセットTを見つけるにはどうすればよいですか？ SがS_nの小さなサブグループであるこの問題に興味があります。貪欲なアルゴリズムよりもはるかに速い近似アルゴリズムを見つける（そして実装する）ことが可能かどうか疑問に思っています（「ラッキー」になるまで何度も実行しますが、これは非常に遅い手順ですが、それにもかかわらずいくつかの最適範囲に近づいています）小さい場合）、または近寄れないことが保証できないかどうか。 この問題に関する簡単な事実：長さnの順列行列の巡回グループは、もちろん最適にこの問題を解決します。（各置換行列にはn個の1があり、n ^ 2個の行列が必要であるため、少なくともn個の行列が必要です。） 私が興味を持っているセットSには、n環式グループがありません。 この問題は、セットカバーの非常に特殊なケースです。実際、Xをn ^ 2個の要素を持つ集合（1,2、... n）*（1,2、... n）とすると、各置換行列はサイズnのサブセットに対応し、I Xをカバーするこれらのサブセットの最小のサブコレクションを探しています。セットカバー自体は、一般的なセットカバー問題の近似なので、この問題を確認する良い方法ではありません。 貪欲なアプローチを使用してこの問題がそれほど遅くない唯一の理由は、順列グループの対称性が多くの冗長性を排除するのに役立つからです。特に、Sがサブグループで、Tが最小のカバーセットである小さなサブセットである場合、セットsT（グループsの任意の要素にTを掛ける）はまだSにあり、カバーセット（もちろん）です。同じサイズなので、まだ最小です。）疑問に思った場合、成功したケースにはn〜30と| S |〜1000があり、幸運な貪欲な結果には| T |があります。〜37。n〜50のケースには、取得に非常に長い時間がかかる非常に貧弱な境界があります。 要約すると、この問題に対する近似アプローチがあるのか​​、それとも一般的な集合カバー問題のように、いくつかの非近似性の定理に収まるほど一般的であるのか疑問に思っています。実際に関連する問題を近似するためにどのアルゴリズムが使用されていますか？サブセットはすべて同じサイズであり、すべての要素は同じ小さな頻度1 / nで表示されるため、何か可能性があるようです。 -B
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次の問題NPは難しいですか？
基本セットのセットコレクションを考えてみましょう。および、および正の整数とする。F = { F 1、F 2、… 、F n } F={F1,F2,…,Fn}F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}U = { e 1、e 2、… 、e n } U={e1,e2,…,en}U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}| F i | N E I ∈ F I K|Fi||F_i| ≪≪\ll nnei∈Fie_i \in F_ikk 目標は、各が最大で互いに素な集合の和集合として記述できるように、上の集合別のコレクションを見つけることです。でとも私たちが望む最小限に抑えます（つまり、すべてのセットの要素の集合数はできるだけ小さくする必要があります）。C = { C 1、C 2、... 、CのM } C={C1,C2,…,Cm}C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}U UUF IFiF_i K kk （K < < | …
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セットカバーの次のバリエーションは何ですか？
セットカバーの次のバリエーションは何ですか？ セットS、SのサブセットのコレクションCおよび正の整数Kが与えられた場合、Sの要素のすべてのペアが選択されたサブセットの1つにあるように、CにKセットが存在します。 注：この問題がNP完全であることを確認するのは難しくありません。通常のセットカバー問題（S、C、K）が与えられ、Sの3つのコピーを作成します。たとえば、S '、S' '、S' ''、次に、サブセットをS '' 'として作成します| S | {a '} U {x in S' 'の形式のサブセット| x！= a} U {a '' '}、| S | {a ''} U {x in S 'の形式のサブセット| x！= a} U {a '' '}、{a'、a '' | a in C_i}。次に、K + 1 + 2 | S |でペアカバー問題を解くことができれば、Kサブセットでセットカバー問題を解くことができます。サブセット。 …
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セットカバー問題のこのバリアントは何として知られていますか？
入力は、宇宙であるの部分集合のファミリー、たとえば、。のサブセットがをカバーできると仮定します。つまり、です。U U F ⊆ 2 U F U ⋃ E ∈ F E = UUUUUF⊆2U{\cal F} \subseteq 2^UF{\cal F}UU⋃E∈FE=U\bigcup_{E\in {\cal F}}E=U インクリメンタルカバーシーケンスは、でサブセットのシーケンスである、たとえば、、満足することF A = { E 1、E 2、… 、E | A | }F{\cal F}A={E1,E2,…,E|A|}{\cal A}=\{E_1,E_2,\ldots,E_{|{\cal A}|}\} 1）、∀ E ∈ A、E ∈ F∀E∈A,E∈F\forall E\in {\cal A}, E\in {\cal F} 2）すべての新参者に新しい貢献があります。つまり、∀ I …
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交差点のサイズを制限したカバーの設定
したがって、候補セットのいずれも互いに交差しない場合、セットカバー問題は簡単です。 ただし、候補セットのペアの交差のサイズが最大1だった場合はどうなりますか？この問題はNP困難ですか？ 洞察力をいただければ幸いです。 ありがとう、ギャレット
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セットカバーのサブケースの硬さ
要素の数が何らかの関数（たとえば、）によって制限されている場合、Set Cover問題はどれほど難しいか。ここで、nは問題のインスタンスのサイズです。正式にはログんlog⁡n\log nんnn LET とF = { S 1、⋯ 、S N } ここで、S iが ⊆ UとM = O （ログN ）。次の問題を決めるのはどれくらい難しいですかU= { e1、⋯ 、eメートル}U={e1,⋯,em}\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}F= { S1、⋯ 、Sん}F={S1,⋯,Sn}\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}S私⊆ USi⊆US_i \subseteq \mathcal{U}m = O （ログn）m=O(log⁡n)m = O(\log n) SET-COVER ' = { < U、F、k > ： 最大でk個の …
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単純なポリゴンを円で覆う
単純なポリゴンと整数kがあるとします。最小半径を見つけるためのいくつかの既存のアプローチはどのようなものがありrは私がカバーできるようなSをしてk個の半径の円R？rが固定されていて、kを最小化したい場合はどうでしょうか？SSSkkkrrrSSSkkkrrrrrrkkk
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以下のための下限の影響
ここでの多くは、おそらくのためのアロンの最近の超線形下界を認識している自然の幾何学的な設定で-nets [PDF] 。関連するセットカバー/ヒッティングセットの問題の近似可能性について、このような下限が何を意味するかを知りたいのですが。 ϵϵ\epsilon もう少し具体的に言うと、レンジスペースのファミリー、たとえばファミリーについて考えてみましょう。 ：Xは有限の平面点セットであり、RにはXと線のすべての交差が含まれます }{(X,R){(X,R)\big\{(X,\mathcal{R})XXXRR\mathcal{R}XXX}}\big\} 線形または超線形であるいくつかの関数について、ファミリーにサイズf （1 / ϵ ）のϵ -netsを許可しない範囲空間が含まれている場合、最小ヒッティングセットの問題についてこれが何を意味するかこの範囲のスペースのファミリーに制限されていますか？fffϵϵ\epsilonf(1/ϵ)f(1/ϵ)f(1/\epsilon)
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セットカバーの近似性：m = poly（n）と仮定できますか？
特定の問題は、セットカバーからの削減では近似できないことを示すようにしています。私の縮小は、サイズnnnおよびmmmセットの基本セットを持つインスタンスを、特定のパラメーターrrrがサイズである問題のインスタンスに変換しますO(n+m)O(n+m)O(n+m)。次に、カバーサイズがsであるセットカバーのインスタンスが、最適解のサイズが2s2s2s（またはこのようなもの）である私の問題のインスタンスに対応すること、およびその逆を示すことができます。私はRaz-Safraを呼び出して、私の問題はある定数cに対して因数まで近似できないと結論付けたいと思いますclogrclog⁡rc \log{r}ccc。これは、mmmが固定多項式によって制限されていると仮定できれば、うまく機能しnんnます。これを仮定することがコーシャかどうか誰かが知っていますか？これは、セットカバーの標準NP硬さ証明で使用されるインスタンスのファミリーに確かに当てはまりますが、RazとSafraによって採用されたPCP削減の種類がこれに該当するかどうかはわかりません。
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セットカバーの特殊化のNP硬度
次の問題はNP困難ですか？ 実数（ターゲット）と、トライデントの中心から2つの距離、定義される「トライデント」が与えられた場合、位置の最小数はすべてのターゲットをカバーするトライデント、つまり NNNx1,…,xNx1,…,xNx_1,\dotsc,x_NaaabbbKKKp1,…,pKp1,…,pKp_1,\dotsc,p_K⋃k=1K{pk−a,pk,pk+b}⊇{x1,…,xN}.⋃k=1K{pk−a,pk,pk+b}⊇{x1,…,xN}. \bigcup_{k=1}^K \{p_k-a,p_k,p_k+b\} \supseteq \{x_1,\dotsc,x_N\}. 明らかに、これはセットカバー問題の特殊なケースです。すべてのセットをし、はすべての「関連する」潜在的な位置を表し、ユニバースをカバーするセットの最小数を探します。同様に、問題を位置ノードとターゲットノードの2部グラフとして表し、ヒッティングセット問題を検討できます。{pk−a,pk,pk+b}{pk−a,pk,pk+b}\{p_k-a,p_k,p_k+b\}pk∈{xn+t∣n∈{1,…,N},t∈{a,0,−b}}pk∈{xn+t∣n∈{1,…,N},t∈{a,0,−b}}p_k\in\{x_n+t\mid n\in\{1,\dotsc,N\}, t\in\{a,0,-b\}\}{x1,…,xN}{x1,…,xN}\{x_1,\dotsc,x_N\} トライデントが「ジャグ」の1つを失った場合、問題はNP困難ではないことに注意してください。各ターゲットは2つの位置からカバーでき、各位置は最大2つのターゲットをカバーできるため、潜在的な位置とターゲットの対応する2部グラフはパスの結合。各パスでは、最小ヒットセット（つまり、内部位置ノード）を簡単に決定できます。 しかし、トライデントのケースはNP難しいですか？
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