セットカバーのサブケースの硬さ

要素の数が何らかの関数（たとえば、）によって制限されている場合、Set Cover問題はどれほど難しいか。ここで、nは問題のインスタンスのサイズです。正式には$\log n$$n$

LET とF = { S 1、⋯ 、S N } ここで、S iが ⊆ UとM = O （ログN ）。次の問題を決めるのはどれくらい難しいですか$\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}$$\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}$$S_i \subseteq \mathcal{U}$$m = O(\log n)$

$$\begin{align*} \text{SET-COVER'}=\{<\mathcal{U}, \mathcal{F}, k>: &\text{ there exists at most $k$ subsets }\\ &\text{ $S_{i_1}, \cdots, S_{i_k}\in \mathcal{F}$ that cover $\mathcal{U}$} \}. \end{align*}$$

どのような場合は？$m=O(\sqrt{n})$

よく知られている推測（例：Unique Games、ETH）に基づく結果はすべて良好です。

編集1：この問題の動機は、が増加するにつれて問題が困難になるときを見つけることです。明らかに、問題はm = O （1 ）の場合はPにあり、m = O （n ）の場合はNP困難です。問題のNP硬度のしきい値は何ですか？$m$$m=O(1)$$m=O(n)$

編集2：時間でそれを決定する些細なアルゴリズムが存在する（サイズのすべての部分集合列挙MのFを）。したがって、問題は、NP困難されていない場合は、M = O （ログN） ETHはない時間にアルゴリズムが存在しないことを意味するので、O （2 N O （1 ））の任意のNP困難問題のためには、（ここで、Nの大きさNP困難な問題）。$O(n^{m})$$m$$\mathcal{F}$$m=O(\log{n})$$O(2^{n^{o(1)}})$$n$

場合は、多項式時間で最適を見つけるために、動的プログラミングを使用することができます。表は、ブール値の細胞含有Tのℓ 、Xそれぞれについてℓ ∈ { 0 、... 、K }及びX ⊆ Uが存在するか否かを示す、ℓの中の要素カバー組Xは。$m = O(\log n)$$T_{\ell,X}$$\ell \in \{0,\ldots,k\}$$X \subseteq \mathcal{U}$$\ell$$X$

場合、言うM≤C$m = O(\sqrt{n})$、問題はNP困難のままです。SET-COVERのインスタンスを指定して、mの新しい要素x1、…、xmおよび（2C − 1 m）の2つの新しいセットを追加します。これは、{x1、…、xを含む、新しい要素の空でないサブセットで構成されます。m}（mが十分に大きい場合、（2C − 1 m）2<2m）。またkを増やす$m \leq C\sqrt{n}$$m$$x_1,\ldots,x_m$$(2C^{-1}m)^2$$\{x_1,\ldots,x_m\}$$m$$(2C^{-1}m)^2 < 2^m$$k$一つ。新しいであり、M ' = 2 、MおよびN ' = N + （2 C - 1 M ）2 ≥ （C - 1 M ' ）2。$m,n$$m' = 2m$$n' = n + (2C^{-1}m)^2 \geq (C^{-1}m')^2$

$m = c \log n$$n^{O(c)}$$k = O(1)$$O(n^k \cdot m)$$N$$O(N)$$2^{N-o(N)}$時間）、これら2つの時間範囲は、次の意味で、多項式時間で期待できるものの「限界」です。

$k$$n$$k$$n^{k-\varepsilon}$$k \geq 2$$\varepsilon > 0$$2^{N(1-\varepsilon/2)}poly(M)$$N$$M$ 条項。

$k$$n$$m$$n^{k-\varepsilon}\cdot f(m)$$M$$N$$2^{N(1-\varepsilon/2)}\cdot f(M)$$M = O(N)$$n^{k-\varepsilon}\cdot 2^{m/\alpha(m)}$$\alpha(m)$