要素の数が何らかの関数(たとえば、)によって制限されている場合、Set Cover問題はどれほど難しいか。ここで、nは問題のインスタンスのサイズです。正式には
LET とF = { S 1、⋯ 、S N } ここで、S iが ⊆ UとM = O (ログN )。次の問題を決めるのはどれくらい難しいですか
どのような場合は?
よく知られている推測(例:Unique Games、ETH)に基づく結果はすべて良好です。
編集1:この問題の動機は、が増加するにつれて問題が困難になるときを見つけることです。明らかに、問題はm = O (1 )の場合はPにあり、m = O (n )の場合はNP困難です。問題のNP硬度のしきい値は何ですか?
編集2:時間でそれを決定する些細なアルゴリズムが存在する(サイズのすべての部分集合列挙MのFを)。したがって、問題は、NP困難されていない場合は、M = O (ログN) ETHはない時間にアルゴリズムが存在しないことを意味するので、O (2 N O (1 ))の任意のNP困難問題のためには、(ここで、Nの大きさNP困難な問題)。