有界カーディナリティ有界周波数セットカバー：近似の硬さ

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次の制限がある最小セットカバー問題を考慮してください。各セットには最大で要素が含まれ、ユニバースの各要素は最大で個のセットで発生します。 $k$ $f$

例：およびは、最大次数4のグラフの最小頂点被覆問題と同等です。 $k = 4$ $f = 2$

ましょう見つけるように最大値であるパラメータと最小セットのカバー問題の-approximationおよび NP困難です。 $a(k,f) > 1$ $a(k,f)$ $k$ $f$

例：（Berman＆Karpinski 1999）。 $a(4,2) \ge 1.0128$

質問：既知の最強の下限を要約したリファレンスはありますか？特に、と両方が小さいがの場合の具体的な値に興味があります。 $a(k,f)$ $k$ $f$ $f > 2$

セットカバー問題の制限付きバージョンは、多くの場合、削減に便利です。通常、と値の選択にはある程度の自由度があり、詳細情報は、最も強い硬度結果を提供する適切な値を選択するのに役立ちます。参考資料ここでは、ここでは、とここで開始点を提供していますが、情報がやや時代遅れと断片的です。より完全で最新のソースがあるかどうか疑問に思っていましたか？ $k$ $f$ $a(k,f)$

— ユッカ・スオメラ
ソース

これまでの回答に感謝します！報奨金を開始して、さらに参加できるかどうかを確認しましょう。誰かが非自明下にバインドへのポインタを与える場合は具体性のために、私は恵み賞にご満足いただけることでしょう

。

a (3, 3)

$a(3,3)$

— ユッカスオメラ

...と恵みはの下限に近いだった何か与えた答えに行ってきました

が、公平を期すために、私は最も徹底的な答えを受け入れることを決めました。ありがとうございます; の場合と思われる

実際に開いています。

a (3, 3)

$a(3,3)$

a (3, 3)

$a(3,3)$

— ユッカスオメラ

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より一般的なパラメータ表記使用の代わりに、中の頂点カバー問題は、これはと等価である（私はより一般的として知られていると思う）最大度の-uniformのハイパーグラフ。私が使用している文献と一貫性を保つため、強調するために、使用、そして使用する。 $(\Delta,k)$ $(k,f)$ $k$ $\Delta$ $k$ $f$ $\Delta$ $k$

任意の定数について、無視して結果含ま $\varepsilon > 0$ $\Delta$

$\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$
$\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ （Dinur et al。、2004）（Lev。
一意のゲーム予想が真である場合、、これはタイトです（Khot＆Regev、2008）。 $\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

無視して、 $k$

$\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$ （簡単）。
$\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ （Holmerin、2002）

2つのパラメーターを組み合わせることがわかっている唯一の結果は

$a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$ のために修正、または成長が遅い（Halperin、2002） $k$ $k$ $\Delta$

この問題と（弱い）独立集合の問題との間には関連性がありますが、近似性の点でそれらがどのように関連しているかは正確にはわかりません。おそらくここから始めて、これを調査することをお勧めします：[PDF]。

— ジェームズ・キング
ソース

ポインターと、やや混乱するパラメーターを使用したことに対する謝罪に感謝します。（「最小セットカバー」のパラメーター使用と一致するように試み、ヴァジラニの本で使用されている表記法に従うことを決めました。）

k

$k$

k

$k$

— ユッカスオメラ

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ジェームズ王の答えのように、使用して、表記での頂点被覆の可能な限り最高の多項式時間近似のための高々度の-uniformのハイパーグラフ、我々はまた、持っています $a(\Delta,k)$ $k$ $\Delta$

（1） $a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

高々度のハイパーグラフにおける頂点カバー：セットカバー用貪欲近似アルゴリズムから最大でサイズのセットを持つ集合被覆問題と同じである貪欲アルゴリズムはせいぜい近似比有するため、、調和関数です。 $\Delta$ $\Delta$ $H_\Delta$ $H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

で、この論文、私はあることを示します

（2） $\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

でない限り、Feigeを減らしてパラメーターを変更します。 $P=NP$

— ルカ・トレビザン
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7

まだ見つけていない場合に備えて。最近の検索で見つかった有界度の頂点カバーの最新の硬度結果は、Chlebik＆Chlebikovaです。たとえば、立方グラフで約1.01の硬度です。

— daveagp
ソース

6

これは非常にあなたの質問に答えていませんが、おそらくそれは助けることができる-がある論文は [Dinurら。2004] f> 2をカバーしています（ただしkは修正されていないようです）。

— レフ・レイジン
ソース