セットカバーの次のバリエーションは何ですか？

セットカバーの次のバリエーションは何ですか？

セットS、SのサブセットのコレクションCおよび正の整数Kが与えられた場合、Sの要素のすべてのペアが選択されたサブセットの1つにあるように、CにKセットが存在します。

注：この問題がNP完全であることを確認するのは難しくありません。通常のセットカバー問題（S、C、K）が与えられ、Sの3つのコピーを作成します。たとえば、S '、S' '、S' ''、次に、サブセットをS '' 'として作成します| S | {a '} U {x in S' 'の形式のサブセット| x！= a} U {a '' '}、| S | {a ''} U {x in S 'の形式のサブセット| x！= a} U {a '' '}、{a'、a '' | a in C_i}。次に、K + 1 + 2 | S |でペアカバー問題を解くことができれば、Kサブセットでセットカバー問題を解くことができます。サブセット。

これはトリプルなどに一般化されます。これを証明するページの半分を無駄にしないようにしたいと思います。おそらく、些細なこととして却下するのに十分ではないでしょう。誰かがそれを証明したことは確かに十分に有用ですが、誰がどこでどこにいるのかわかりません。

また、Garey and JohnsonにないNP完全性の結果を探すのに適した場所はありますか？

2番目の質問に答えるために、NP硬さの結果のKahn-Crescenziの大要は硬さの結果の貴重な情報源であり、G＆Jの主要な問題の多くのバリエーションもカバーしています。T セットカバーのための彼のエントリは、この良い例です。

セットカバーを一般化して、Sの要素だけでなく、SのすべてのサイズMサブセットを考慮するように思えます。問題をより一般的に述べることができます。

「セットS、SのサブセットのコレクションC、および正の整数mを考えると、Sの各サイズMのサブセットがCの選択された要素の1つにあるようなCの要素の最小数は何ですか？」

これは実際、セットカバーのかなり明白な一般化であり、1行を超えてNP完全を証明するのに時間を費やす必要のあるものではないと私は思います。結局、m = 1を選択すると、元のセットカバー問題が回復します。おそらく、このより一般的な定式化は、詳細に立ち入る必要を避けるために、あなたの目的にとって十分でしょうか？

NP完全性の結果の更新されたセットに関するあなたの質問は良いものであり、独自の質問に値します。CrescenziとKannは、ここで便利な概要をオンラインでまとめました。

第二に、それはほとんど普及していませんが、Steven SkienaによるAlgorithms Design Manualは多くの場合、多くの問題の最初の役に立つ場所であり、一部はオンラインで入手できます。