交差点のサイズを制限したカバーの設定

したがって、候補セットのいずれも互いに交差しない場合、セットカバー問題は簡単です。

ただし、候補セットのペアの交差のサイズが最大1だった場合はどうなりますか？この問題はNP困難ですか？

洞察力をいただければ幸いです。

ありがとう、ギャレット

私が何かを見逃していない場合は、このcstheoryの質問で NPCであることが判明した3セット（SINGLE OVERLAP RX3C）によるSINGLE OVERLAP RESTRICTED EXACT COVERからの削減を使用できます。

3セットによる正確なカバー（X3C）：

インスタンス：および 3要素サブセットのコレクションを設定します。質問：Cには、正確なカバー、つまり、すべての要素が正確に1つのメンバーに出現するサブコレクション含まれていますか？$X=\{x_1,x_2,...,x_{3q}\}$$C=\{C_1,...,C_m\}$$X$
$X$$C′\subseteq C$$X$$C′$

X3CはNP完全（G＆Jを参照）であり、[1]に示すように、すべての要素が正確に3つのサブセットに含まれていてもNP完全のままです（3つのセットによる厳密なカバー、RX3C）。$x_i$$C$

のサブセットのすべてのペアが 多くても1つの要素を共有している場合でも、NP完全なままであることを証明しました。すなわち、すべてのに対して、（この制限バージョンをSINGLE OVERLAP RX3Cと呼びました）。$C$$i\neq j$$|C_i \cap C_j|\leq 1$

SET COVER WITH BOUNDED INTERSECTION SIZE 1（その決定版）は、SINGLE OVERLAP RX3Cの単なる一般化であり、実際、SINGLE OVERLAP RX3Cの同じユニバース とサブセットの同じコレクションを選択し、求めることができます個以下のサブセットを持つカバー。$X$$C_1,...C_m$$q$

すべてのサブセットには3つの要素が含まれ、には個の要素があるため、明らかにサブセットのカバーは存在できません。サブセットのカバーは正確でなければなりません。2つのサブセットに共有要素が含まれる場合、カバーされる要素は未満です。$< q$$3q$$X$$q$$3q$

[1] Teofilo F. Gonzalez：最大クラスター間距離を最小化するためのクラスタリング。理論。計算します。科学 38：293-306（1985）。