セットカバーの近似性：m = poly（n）と仮定できますか？

特定の問題は、セットカバーからの削減では近似できないことを示すようにしています。私の縮小は、サイズ $n$ および $m$ セットの基本セットを持つインスタンスを、特定のパラメーター $r$ がサイズである問題のインスタンスに変換します $O(n+m)$ 。次に、カバーサイズがsであるセットカバーのインスタンスが、最適解のサイズが $2s$ （またはこのようなもの）である私の問題のインスタンスに対応すること、およびその逆を示すことができます。私はRaz-Safraを呼び出して、私の問題はある定数に対して因数まで近似できないと結論付けたいと思い $c \log{r}$ $c$ 。これは、 $m$ が固定多項式によって制限されていると仮定できれば、うまく機能し $n$ ます。これを仮定することがコーシャかどうか誰かが知っていますか？これは、セットカバーの標準NP硬さ証明で使用されるインスタンスのファミリーに確かに当てはまりますが、RazとSafraによって採用されたPCP削減の種類がこれに該当するかどうかはわかりません。

cc.complexity-theory approximation-hardness set-cover

— エディス・エルキンド
ソース

はい、セットカバーインスタンスのセット数mは、要素数の多項式です。

ちなみに、Set-Coverの最先端の硬度結果は次のとおりです。

Noga AlonとMuli Safraを使用して、Raz-Safra / Arora-Sudan PCPを使用して、硬度係数でより良い定数を取得する方法を示しました。 $c$ $c\log n$

http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps
Feigeは、最適な硬度係数取得する方法を示した。と仮定すると、。 $(1-\epsilon)\ln n$ $NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$

http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf
私は最近、PCPについてのもっともらしい推測（私が「投影ゲームの推測」と呼ぶ推測）を専門として、フェイジの還元をNP硬さの結果（つまり、基づく結果）に適応させる方法に関するノートを公開しました1993年の「スライディングスケール予想」のプロジェクションゲーム）。 $P\neq NP$

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ （この削減により、と削減ブローアップの間の最適なトレードオフが得られることが後でわかりました）。 $\epsilon$

— ダナ・モシュコヴィッツ
ソース

それでも

硬度が得られる最も弱い分離の仮定は何ですか？

(1 - ϵ) \log n

$(1-\epsilon)\log n$

— Suresh Venkat、2011年

ダナ、あなたの答えをありがとう！気にしない場合のフォローアップの質問：これは「愚かな」質問ですか、つまり、m = poly（n）を暗示する高レベルの考慮事項がありますか、それとも実際に私の質問に答えるためのRaz-Safra硬さの証明？

— Edith Elkind、2011年

@Suresh：

を意味していると思います。Feigeの仮定（

）、私の仮定（ "投影ゲーム予想"）は無類です。私の仮定は近い将来に証明されると思います。

(1 - ϵ) \ln n

$(1-\epsilon)\ln n$

N P ⊈ D T I M E (n^{\log \log n})

$NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$

— Dana Moshkovitz、2011年

@lostinjungle：mがnの多項式でなかった場合、削減を「ポリ時間削減」と見なすことはできませんでした。Raz-Safra / Arora-Sudan PCPがm = poly（n）を生成する特定の理由は、PCP変数/制約ごとのセットとそれらへの割り当て、変数と制約の数、およびアルファベットのサイズは多項式であり、クエリの数は一定です。

— Dana Moshkovitz、2011年

@DanaMoshkovitz：ありがとう！ただし、最初の申し立てが理解できるかどうかはわかりません。以下の（架空の）削減の何が問題なのです。私は（例えば）頂点カバーのインスタンスを起動する

頂点とをセットカバーのインスタンスを作成

セットとサイズのグランド集合

、どこ

を解決します

？これは間違いなくポリタイムで機能します。確かに、私はこのような削減を見たことがありませんが、論理的に不可能ではないようです。それとも私は間違っていますか？もちろん、私の元の質問にはすでに回答済みですので、この質問は無視してください。私は好奇心旺盛です...

k

$k$

m = k^{3}

$m = k^3$

n

$n$

n

$n$

n^{\log n} = m

$n^{\log n} = m$

— Edith Elkind