次の問題NPは難しいですか？

基本セットのセットコレクションを考えてみましょう。および、および正の整数とする。$F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$$U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$| F i | N E I ∈ F I$|F_i|$ $\ll$ $n$$e_i \in F_i$$k$

目標は、各が最大で互いに素な集合の和集合として記述できるように、上の集合別のコレクションを見つけることです。でとも私たちが望む最小限に抑えます（つまり、すべてのセットの要素の集合数はできるだけ小さくする必要があります）。$C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$$U$$F_i$$k$ $(k<<|C|)$ $C$$\sum_1^m |C_j|$$C$

ように注意し同じ大き有する、しかしのサイズ不明です。$F$$U$$C$

上記の問題がNP困難であるかどうかは誰にもわかりますか？（カバーを設定？パッキング？完璧なカバー）

御時間ありがとうございます。

補題。 問題はNPハードです。

証明スケッチ。 制約を無視します| F i | ≪ n = | U | ポストされた問題で、任意のインスタンスのための理由（F 、U 、K ）問題の、インスタンス（F ' = F N、U ' = U N、K ）の和集合を取ることによって得られたn個の独立したコピー（Fを、U 、k ）（ここで$|F_i| \ll n = |U|$$(F,U,k)$$(F'=F^n,U'=U^n,k)$$n$$(F,U,k)$$i$目のコピーFは使用私の目コピーUの）そのベースセットと等価であり、そして満足制約（それが有する| F ' I | ≤ N « N 2 = | U ' |）。$F$$i$$U$$|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$

3-SATから削減します。プレゼンテーションのために、削減の第一段階では、我々は制約を無視E I ∈ F 私がポストされた問題で。第2段階では、削減の正確性を維持しながら、これらの制約を満たす方法について説明します。$e_i \in F_i$

最初の段階。任意の3-SAT式固定φを。WLOGでは、各句に正確に3つのリテラル（それぞれ異なる変数を使用）があると仮定します。投稿された問題の次のインスタンス（F 、U 、k ）をk = 3で生成します。$\phi$$(F,U,k)$$k=3$

してみましょうn個の変数の数もφ。ある3つのN + 1の要素U 1つの要素：Tの各変数に対して、（ "真"の）が、そしてxはIをでφ三つの要素は、xはIを、¯ X I、及びfはI（ "偽"の場合）。$n$$\phi$$3n+1$$U$$t$$x_i$$\phi$$x_i$$\overline x_i$$f_i$

Uの各要素には、Fの要素のみを含むシングルトンセットがあります。したがって、任意のソリューションCにはこれらのセットがそれぞれ含まれ、それらの合計サイズ3 n + 1がCのコストに寄与します。$U$$F$$C$$3n+1$$C$

また、各変数のX Iにおけるφ "可変"セットが存在し、{ X I、¯ X I、F 、I、T }でFは。ϕの各節には、節のリテラルとtで構成される「節」がFに設定されています。例えば、句X 1 ∧ ¯ X 2 ∧ X 3つの収率セット{ X 1、¯ X 2、$x_i$$\phi$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$F$$\phi$$F$$t$$x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$3、T }で F。$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$F$

請求項1 の減少が正しい：φは、いくつかのソリューションIFF充足CはコストがあるΣのjは| C j | = 5 n + 1。$\phi$$C$$\sum_j |C_j| = 5n+1$

（場合のみ）ϕが充足可能であると仮定します。溶液構築物Cからなる3 N + 1つのシングルトンセットを、プラス、各変数のxはI、真リテラルとからなる一対のTを。（例えば、{ ¯ X I、T }場合、X iは偽である。）のコストCは、その後で5 N + 1。 $\phi$$C$$3n+1$$x_i$$t$$\{\overline x_i, t\}$$x_i$$C$$5n+1$

各変数集合{ X I、¯ X I、fはI、Tは}三組の和集合である：真リテラルとのペアT、プラス2つのシングルトンセット、他の二つの要素のそれぞれに1つずつ。（例えば、{ ¯ X I、T } 、{ X I } 、{ F I }）。$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$t$$\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

各句のセット（例えば、{ X 1、¯ X 2、xは3を、Tは}からなるペア：）は、3つのセットの和集合であるTと真リテラル、プラス2つのシングルトンセット、他の二つのリテラルのそれぞれに1つずつ。（例えば、{ X 1、T } 、{ ¯ X 2 } 、{ xは3 }）。$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$t$$\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

（if）サイズ5 n + 1の解Cがあると仮定します。ソリューションには、3 n + 1個のシングルトンセットと、合計サイズ2 nの他のセットが含まれている必要があります。$C$$5n+1$$3n+1$$2n$

最初の検討N、フォームの各"可変"セット{ X I、¯ X I、F 、I、Tを}。セットは、Cの最大3つのセットの互いに素な結合です。一般性を失うことなく、これは、2つのシングルトンと一対の互いに素な組合（そうでなければ、で分割セットであるCは、コストを増加させることなくこれを達成します）。ペアP iを示します。ペアP IおよびPのjの異なる変数のは、xはIとのx jがあるため、異なっています$n$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$C$$C$$P_i$$P_i$$P_j$$x_i$$x_j$Pは私が含まれている X I、 ¯ X I、または fの私が、 P jはしませんが。したがって、これらのペアのサイズの合計は 2 nです。したがって、これらのペアは、ソリューション内の唯一の非シングルトンセットです。 $P_i$$x_i$$\overline x_i$$f_i$$P_j$$2n$

次は、 "節"のセットを考える、例えば、{ X I、¯ X J、X 、K、T }。このような各セットは、Cの最大3つのセット、つまり最大2つのシングルトンセットと少なくとも1つのペアP i、P j、またはP kの結合でなければなりません。ペアおよび句のセットの検査によって、これは、2つのシングルトンと一対の組合でなければならず、そのペアの形式でなければならない{ X I、T }または{ ¯ X、J、T $\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$$C$$P_i$$P_j$$P_k$$\{x_i, t\}$$\{\overline x_j, t\}$ (a literal and $t$).

Hence, the following assignment satisfies $\phi$: assign true to each variable $x_i$ such that $P_i=\{x_i, t\}$, assign false to each variable $x_i$ such that $P_i=\{\overline x_i, t\}$, and assign the remaining variables arbitrarily.

Stage 2. The instance $(F,U,k=3)$ produced above does not satisfy the constraint $e_i \in F_i$ stated in the problem description. Fix that shortcoming as follows. Order the sets $F_i$ and elements $e_i$ in $U$ so that each singleton set corresponds to its element $e_i$. Let $m$ be the number of clauses in $\phi$, so $|F|=1+4n+m$ and $|U|=1+3n$.

Let $(F', U', k'=4)$ denote the instance obtained as follows. Let $A$ be a set of $2n+2m$ new artificial elements, two for each non-singleton set in $F$. Let $U'=U\cup A$. Let $F'$ contain the singleton sets from $F$, plus, for each non-singleton set $F_i$ in $F$, two sets $F_i\cup \{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i,a_i'\}$, where $a_i$ and $a_i'$ are two elements in $A$ chosen uniquely for $F_i$. Now $|F'|=|U'|=1+5n+2m$ and (with the proper ordering of $F'$ and $U'$) the constraint $e'_i\in F'_i$ is met for each set $F'_i$.

To finish, note that $(F',U',k'=4)$ has a solution of cost $|A|+5n+1$ iff the original instance $(F, U, k=3)$ has a solution of cost $5n+1$.

(if) Given any solution $C$ of cost $5n+1$ for $(F,U,k=3)$, adding the $n+m$ sets $\{a_i, a'_i\}$ (one for each non-singleton $F_i$, so these partition $A$) to $C$ gives a solution to $(F', U', k'=4)$ of cost $|A|+cost(C)=|A|+5n+1$.

(only if) Consider any solution $C'$ for $(F', U',k=4)$ of cost $|A|+5n+1$. Consider any pair of non-singleton sets $F_i\cup\{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i, a_i'\}$ in $F'$. Each is the disjoint union of at most 4 sets in $C'$. By a local-exchange argument, one of these sets is $\{a_i, a_i'\}$ and the rest don't contain $a_i$ or $a_i'$ --- otherwise this property can be achieved by a local modification to the sets, without increasing the cost... (lack of detail here is why I'm calling this a proof sketch). So removing the $\{a_i, a_i'\}$ sets from $C'$ gives a solution $C$ for $(F,U,k=3)$ of cost $5n+1$. $\diamond$