タグ付けされた質問 「graph-theory」

グラフ理論は、オブジェクト間のペアワイズ関係をモデル化するために使用される数学的構造であるグラフの研究です。

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グラフのプロパティの感度
[1]、グラフプロパティの（紙の「臨界複雑さ」と呼ばれる）感度がより厳密に大きいことトゥランショーグラフの頂点の数です。彼は、自明ではないグラフのプロパティには感度があると推測しています。彼は、これが検証されたことに言及しています。この推測について進展はありましたか？M≥M-1、M≤5⌊14m⌋⌊14m⌋\lfloor {1\over 4} m \rfloormmm≥m−1≥m−1\geq m-1m≤5m≤5m \leq 5 バックグラウンド ましょにバイナリ文字列である。ビットを反転してから取得した文字列になるように、を定義します。ブール関数のための \に、規定の感度におけるとして。最後に、の感度をとして定義します。{ 0 、1 } nはX I 1 ≤ I ≤ N X I T H F ：{ 0 、1 } nは { 0 、1 } F X S （F 、X ）：= | { i ：f （x ）≠ f （x i）} …
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不完全なサブグラフ同型
次の問題を考えてみましょう：クエリグラフおよび参照グラフ与えられた場合、単射写像を見つけて、エッジように。これは、サブグラフをいくつかの欠損エッジまで同型にすることができ、欠損エッジの数を最小限にする方法を見つけたいサブグラフ同型問題の一般化です。G ' = （V '、E '）、F ：V → V '（V 1、V 2）∈ E （F （V 1）、F （V 2））∉ E 'G=(V,E)G=(V,E)G = (V, E)G′=(V′,E′)G′=(V′,E′)G' = (V', E')f:V→V′f:V→V′f : V \rightarrow V'(v1,v2)∈E(v1,v2)∈E(v_1, v_2) \in E(f(v1),f(v2))∉E′(f(v1),f(v2))∉E′(f(v_1), f(v_2)) \notin E' また、頂点のカップルが重み（場合はゼロでなければなりませんの重み付きバージョンにも興味があります。、およびについても同様で、（\ max参照グラフの重みよりも大きいクエリグラフの重みのみにペナルティを課すためにあります）。(v1,v2)∈V2(v1,v2)∈V2(v_1, v_2) \in V^2w(v1,v2)w(v1,v2)w(v_1, v_2)(v1,v2)∉E)(v1,v2)∉E)(v_1, v_2) \notin E)G′G′G'∑v1,v2(max(0,w(v1,v2)−w(f(v1),f(v2))))∑v1,v2(max(0,w(v1,v2)−w(f(v1),f(v2))))\sum_{v_1, v_2} (\max(0, w(v_1, v_2) - …
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「鋭い」頂点がほとんどないグラフを描画しますか？
直線エッジを持つ平面上の平面グラフの平面埋め込みの場合、周囲の2つの連続するエッジ間の最大角度が180を超える場合、頂点を鋭い頂点として定義します。その頂点に入射するすべてのエッジが線の片側にあるような埋め込みの頂点。頂点は「シャープ」であり、そうでない場合はそうではありません。また、次数が3以上の頂点のみについて心配します。 鋭い頂点がほとんどない平面グラフを描きたい。誰もそのような図面を以前に勉強したことがありますか？ 特に、埋め込みの次数3の鋭い頂点の数があり、頂点の座標が多項式のビット数で書き込めるように、最大​​次数3の平面グラフを描画します。O （ログn ）O（ログ⁡n）O(\log n) Google Scholarに時間を費やした後、次のことがわかります。 私の頂点の鋭さの尺度は、角度研究と呼ばれる既に研究された概念に関連しています。ウィキペディアから： グラフの描画の角度分解能は、描画の共通の頂点で交わる2つのエッジによって形成される最も鋭い角度を指します。 したがって、角度分解能次数3の頂点を持つ平面描画は、私の目的に適しています。π/ 2π/2\pi/2 度の頂点の図に、その周りに角度分解能は、最大であることができる2 π / D。ddd2個のπ/ d2π/d2\pi/d これがきついかどうかの問題は過去に研究されてきましたが、漸近的な結果しか見つけることができません。例えば、MalitzおよびPapakostasを証明する最大次数を有する任意の平面グラフことの角度解像度で描画することができますα D。しかし、この結果は、d = 3の場合に適切な境界を与えません。dddαdαd\alpha^dd= 3d=3d=3
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k連結グラフを（k + 1）連結成分に分解する
連結グラフは、その二重連結コンポーネントに分解できます。このブロックカットポイントツリーは一意です。同様に、双連結グラフは三連結成分に分解できます。対応するSPQRツリーは、グラフ内のすべての2頂点カットを記述し、グラフから一意に決定されます。 このプロセスは、より高い接続性には一般化しません。例えば、所与triconnectedグラフ、全ての3頂点カット記述する複数の「木」があり得るGを。GGGGGG （これらのクラスの）接続グラフをk + 1接続コンポーネントに一意に分解できるような特別なクラスのグラフはありますか？kkkk + 1k+1k+1 私の質問はこの質問と少し異なることに注意してください。
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属1のグラフの分解
平面グラフはフリーです。このようなグラフは、平面またはコンポーネントのいずれかであることが知られている3連結コンポーネントに分解できます。K3 、3K3、3K_{3,3}K5K5K_5 属1のグラフのそのような「素敵な」分解はありますか？ グラフマイナーに関する独創的な研究で、RoberstonとSeymourは、マイナーを含まないすべてのグラフを「ほぼ平面」のグラフの「クリークサム」に分解できることを示しました。もちろん、これは有界グラフにも当てはまります。構造特性をよりよく理解するために、属1のグラフに固有の分解を探しています。
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ワイスフェイラー・レーマンラベルの計算の難しさ
1-DIM Weisfeiler-リーマンアルゴリズム（WL）は、一般に正規標識または色精緻化アルゴリズムとして知られています。次のように機能します。 初期着色均一で、C 0（V ）= 1、すべての頂点については、V ∈ V （G ）∪ V （Hします）。C0C0C_0C0（v ）= 1C0（v）=1C_0(v) = 1V ∈ V（G ）∪ V（ H）v∈V（G）∪V（H）v \in V (G) \cup V (H) 番目のラウンド、色CのI + 1（V ）前の色からなる対であると定義されるC I - 1（V ）と色のマルチセットC I - 1（U ）のためにvに隣接するすべてのu。たとえば、vとwの場合、C 1（v ）= C 1（w ）（i + 1 ）（私+1）(i + 1)Ci + …
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リストに順番を維持
注文のメンテナンスの問題（または「リスト内の注文の維持」）は、操作をサポートすることです。 singleton：1つのアイテムでリストを作成し、そのポインターを返します insertAfter：アイテムへのポインターを指定すると、そのアイテムの後に新しいアイテムを挿入し、新しいアイテムへのポインターを返します delete：アイテムへのポインタを指定すると、リストから削除します minPointer：同じリスト内のアイテムへの2つのポインターを指定すると、リストの先頭に近い方を返します 私は、償却時間ですべての操作を実行するこの問題に対する3つの解決策を知っています。それらはすべて乗算を使用します。O （1 ）O（1）O(1) Athanasios K. Tsakalidis：一般化リンクリストでの順序の維持 Dietz、P.、D. Sleator、リスト内の順序を維持するための2つのアルゴリズム Michael A. Bender、Richard Cole、Erik D. Demaine、Martin Farach-Colton、およびJack Zito、「リスト内の順序を維持するための2つの簡略化されたアルゴリズム」 A C 0にない算術演算を使用せずに、償却時間のリストで順序を維持できますか？O （1 ）O（1）O(1)A C0AC0AC^0
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モジュラー分解とクリーク幅
モジュラー分解とクリーク幅グラフに関するいくつかの概念を理解しようとしています。 この論文（「P4-きちんとグラフに」）、モジュール分解を用いてクリーク数または波長数状最適化問題を解決する方法の証拠があります。G1とG2の答えがわかれば、2つのグラフG1、G2を（互いに素な和または素な和集合を使用して）合成してこれらの問題を解決するのは簡単です。P4-tidyグラフの分解に関するプライムグラフは有界グラフ（つまり、C5、P5など）であるため、これらの「ベースケース」については簡単に解決でき、それから合成については簡単に解決できます。したがって、分解ツリーを使用すると、これらの問題を線形時間で解決できます。 しかし、この手法は、グラフの素数が制限されているグラフクラスで機能すると思われます。次に、この論文「有界クリーク幅のグラフ上の線形時間可解最適化問題」を見つけました。これは、私が探していた一般化を行っているようですが、それをよく理解できませんでした。 私の質問は： 1-分解ツリーのプライムグラフは有界（P4-tidy graphsの場合のように）であり、グラフには「クリーク幅」プロパティが有界であると言うのと同等ですか？ 2- 1の答えがNOの場合：グラフ素数の境界を持つグラフのクラス（P4-tidyグラフのような）に関する結果が存在するため、これらすべてのクラスの線形時間で解けるクリーク数のような最適化問題？
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モジュラー分解のリファレンス
Modular Decompositionのパワーとその特性をよりよく理解するための優れた論文/本は何ですか？ モジュラー分解のアルゴリズム面に特に興味があります。線形時間でグラフのモジュラー分解を見つけることができると聞いたことがあります。そのための比較的単純なアルゴリズムはありますか？それほど効率的ではないが単純なアルゴリズムはどうですか？
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平面グラフのエッジカラーリングの複雑さ
3次グラフの3エッジのカラーリングは完全です。4色の定理は、「すべての立方平面ブリッジレスグラフは3エッジのカラーリング可能」に相当します。NPNPNP 立方平面グラフの3エッジカラーリングの複雑さは何ですか？ また、最大次数 {4,5}の平面グラフでは、 -edge カラーリングは -hardであると推測されます。△Δ\DeltaNPNPNPΔ ∈Δ∈\Delta \in この推測の解決に向けた進展はありましたか？ マレク・クロバックと西関貴雄。平面グラフのエッジカラーリングアルゴリズムの改善。Journal of Algorithms、11：102-116、1990
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頂点ラベリングの「ローカル」関数を結合するためのグラフ分解
私たちが見つけたいとし ∑バツ∏I J ∈ Ef（x私、xj）∑バツ∏私j∈Ef（バツ私、バツj）\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j) または 最大バツ∏I J ∈ Ef（x私、xj）最大バツ∏私j∈Ef（バツ私、バツj）\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j) Vのすべてのラベル付けでmaxまたはsumが取られる場合VVV、積はグラフG = \ {V、E \}のすべてのエッジEEEで取られ、fは任意の関数です。この量は、有界ツリー幅グラフでは簡単に、一般的に平面グラフではNP困難です。適切な色の数、最大独立集合、およびオイラー部分グラフの数は、上記の問題の特別な例です。この種の問題、特に平面グラフの多項式時間近似スキームに興味があります。どのグラフ分解が有用でしょうか？G = { V、E}G={V、E}G=\{V,E\}fff 編集11/1：例として、統計物理学のクラスター展開（つまり、マイヤー展開）に類似するかもしれない分解について疑問に思っています。fffが弱い相互作用を表す場合、そのような展開は収束します。つまり、グラフのサイズに関係なく、展開のkkk項で所定の精度を達成できます。これは、量に対するPTASの存在を意味しませんか？ 2011年2月11日更新 高温膨張は、高次の項が高次の相互作用に依存する項の合計としてパーティション関数ZZZを書き換えます。「相関が減衰する」場合、高次の項は十分に速く減衰するため、ZZZの質量のほぼすべてが有限数の低次の項に含まれます。 たとえば、イジングモデルの場合、次のパーティション関数の式を考慮してください。 Z= ∑X ∈ XexpJ∑I J ∈ Eバツ私バツj= c ∑A ∈ C（タンJ）| A |Z=∑バツ∈バツexp⁡J∑私j∈Eバツ私バツj=c∑A∈C（タン⁡J）|A|Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i …
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遺伝クラスのグローバルプロパティ？
構造の遺伝的クラス（例：グラフ）は、誘導された部分構造の下で閉じられているもの、または同等に、頂点の除去の下で閉じられているものです。 マイナーを除外するグラフのクラスには、除外された特定のマイナーに依存しない素晴らしいプロパティがあります。Martin Groheは、未成年者を除くグラフクラスには同型の多項式アルゴリズムがあり、これらのグラフクラスのカウントを伴う固定小数点ロジックが多項式時間をキャプチャすることを示しました。（Grohe、 除外された未成年者を含むグラフの固定小数点定義可能性および多項式時間、LICS、2010。）これらは「グローバル」プロパティと考えることができます。 遺伝クラス（グラフまたはより一般的な構造）で知られている同様の「グローバル」プロパティはありますか？ 各回答が特定の1つのプロパティのみに焦点を合わせているのを見るとよいでしょう。
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エッジの追加ごとにO（N ^ 2）よりも優れたオンライン推移閉包
私は、エッジの追加ごとにO（N ^ 2）未満の時間複雑度を持つ有向非巡回グラフの推移的閉包を維持するためのオンラインアルゴリズムを探しています。私の現在のアルゴリズムは次のようなものです。 For every new edge u->v connect all nodes in Pred(u) \cup { u } with all nodes in Succ(v) \ \cup { v }. O（N ^ 2）エッジの場合、これは、たとえばFloyd-Warshallよりもはるかに悪いO（N ^ 4）の総時間複雑度に変換されます。
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4サイクルの自由なグラフ
以下のように-cycle問題は次のとおりです。kkk インスタンス： Anがグラフ無向有する頂点と最大たエッジを。GGGnnn(n2)(n2)n \choose 2 質問：（適切な）サイクルが存在しますか？kkkGGG 背景：任意の固定kについて、O（n ^ 2）時間で2kサイクルをkkk解くことができます。2k2k2kO(n2)O(n2)O(n^2) ラファエル・ユースター、ウリ・ツウィック：サイクルの発見をさらに高速化。SIAM J. 離散数学。10（2）：209-222（1997） ただし、3サイクル（3クリーク）を行列乗算時間未満で解決できるかどうかは不明です。 私の質問：GGGに4サイクルが含まれていないと仮定すると、O(n2)O(n2)O(n^2)時間で3サイクルの問題を解決できますか？ Davidは、O(n2.111)O(n2.111)O(n^{2.111})時間で3サイクル問題のこのバリアントを解決するためのアプローチを提案しました。
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クラスカルのアルゴリズムのこの高密度バージョンはよく知られていますか？
約1年前、友人と私は、通常のバウンドよりも優れた密度のグラフのクラスカルのアルゴリズムを実装する方法を考えました（事前にソートされたエッジを想定せずに）。具体的には、隣接行列を使用して実装された場合のプリムと同様に、すべての場合でを実現します。O （m ログm ）O（mログ⁡m）O(m \log m)Θ （n2）Θ（n2）\Theta(n^2) C ++コードやベンチマークなど、アルゴリズムについて少しブログに投稿しましたが、一般的な考え方は次のとおりです。 接続されたコンポーネントごとに1つの代表ノードを維持します。最初は、すべてのノードが自分自身を表しています。 dist[i]すべてのコンポーネントについてi、に入射するコンポーネント交差エッジが最も軽いようにベクトルを維持しiます。 パーティションを横切る最も軽いエッジを見つけるとき、線形時間でiの重みを最小にする単純なものを見つけますdist[i]。 接合2つの成分が場合と、隣接行列変更、そのような今ですべてのコンポーネントのためのK、及びマーク接続されたコンポーネントの代表ではなくなったi（jのみが残ります）。c私c私c_icjcjc_jAAAAi,k=min{Ai,k,Aj,k}Ai,k=min{Ai,k,Aj,k}A_{i, k} = \min \{A_{i, k}, A_{j, k}\}kkkiiijjj したがって、最も軽いエッジの収縮と前記エッジの検出の両方を線形時間で行うことができます。これをn−1n−1n - 1回実行して、MSTを見つけます。MSTにどのエッジを追加するかを実際に見つけるには、少しの簿記が必要ですが、複雑さは増しません。したがって、ランタイムはΘ(n2)Θ(n2）\Theta(n^2)です。実装は、forループのほんの一部です。 クラスカルのこのバージョンは文献でよく知られていますか？
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