遺伝クラスのグローバルプロパティ？

構造の遺伝的クラス（例：グラフ）は、誘導された部分構造の下で閉じられているもの、または同等に、頂点の除去の下で閉じられているものです。

マイナーを除外するグラフのクラスには、除外された特定のマイナーに依存しない素晴らしいプロパティがあります。Martin Groheは、未成年者を除くグラフクラスには同型の多項式アルゴリズムがあり、これらのグラフクラスのカウントを伴う固定小数点ロジックが多項式時間をキャプチャすることを示しました。（Grohe、 除外された未成年者を含むグラフの固定小数点定義可能性および多項式時間、LICS、2010。）これらは「グローバル」プロパティと考えることができます。

遺伝クラス（グラフまたはより一般的な構造）で知られている同様の「グローバル」プロパティはありますか？

各回答が特定の1つのプロパティのみに焦点を合わせているのを見るとよいでしょう。

遺伝特性は、次の意味で非常に「堅牢」です。

NOGAアロンとアサフShapiraが示された任意の遺伝性のためにそれをグラフ場合、Gは以上必要ε N 2つのエッジが追加または満足するために除去されるP、その後にサブグラフあるGせいぜいサイズの、F Pは（ϵ ）、これはPを満たさない。ここで、関数fはプロパティPのみに依存します（たとえば、グラフGのサイズには依存しません）。Erdősはk彩色性の性質についてのみそのような推測をした。${\cal P}$$G$$\epsilon n^2$${\cal P}$$G$$f_{\cal P}(\epsilon)$${\cal P}$$f$${\cal P}$$G$$k$

実際、アロンとShapiraは、以下のより強いことを証明する：所与、いずれかのεで（0 、1 ）、存在するN （ε ）、H （ε ）とδ （ε ）グラフ場合、そのようなGが少なくとも有し、NはPを満たすために頂点と少なくともϵ n 2のエッジを追加/削除する必要があり、その後、h頂点上の誘導部分グラフの少なくともδ分数について、誘導部分グラフが違反します${\cal P}$$\epsilon$$(0,1)$$N(\epsilon)$$h(\epsilon)$$\delta(\epsilon)$$G$$N$$\epsilon n^2$${\cal P}$$\delta$$h$。場合したがって、 εおよびプロパティ Pは、入力グラフを満たすかどうかをテストするために、固定された P以上である ε満たすから-far Pを、次いで一つのみグラフから一定の大きさのランダム誘起サブグラフのエッジを照会する必要があるとプロパティを満たしているかどうかを確認します。そのようなテスタは常に満足グラフ受け入れる Pをとグラフ拒否する ε一定の確率でそれを満たすから-farを。さらに、この意味で一方的にテスト可能なプロパティは、遺伝性プロパティです！詳細については、アロンとシャピラによる論文をご覧ください。${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$

これはあなたが念頭に置いていたものではないかもしれませんが、個の頂点のグラフが遺伝クラスのグラフに存在できる数には既知の制限があります。例えば、間有するグラフのない遺伝的クラスが存在しない2 Ω （N ）と2 O （N ログN）のグラフのn頂点。$n$$2^{\Omega(n)}$$2^{o(n\log{n})}$$n$

参照：E. Scheinerman、J。Zito、グラフの遺伝的クラスのサイズについて、Journal of Combinatorial Theory Series B

これはTravisの答えに関連しています。実際、より強力なバージョンと考えることができます。

Bollob \ 'asとThomason（Combinatorica、2000）の論文は、Erd \ H {o} sR \' enyiのランダムグラフ（pは固定定数）で、すべての遺伝特性がそれらによって近似できることを示しています。基本プロパティを呼び出します。基本とは、頂点セットがrクラスの結合であり、sがクリークにまたがり、r − sが独立セットにまたがるグラフを意味しますが、完全ではありません。この近似は、最大のPセットのサイズとG nの P色数を特徴付けるために使用されます$G_{n,p}$$p$$r$$s$$r-s$$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$、ここで Pはいくつかの固定された遺伝特性です。場合は、pは変化することが許され、行動をよく理解されていません。$G_{n,p}$$\mathcal{P}$$p$

これと関連する作業の背景については、Bollob \ 'as（Proceedings of the ICM 1998）による調査があります。これは、これらの線に沿って魅力的な推測を与えますが、ハイパーグラフについてです。

こことアロンとシャピラの両方の結果で使用されたように、私は遺伝的特性とSzem \ 'erediの規則補題の間の深いつながりを非常に興味深く感じます。

AKRの推測に関するSureshの答えは、私が遺伝特性についても同じ推測を考えるようになった。（間違えない限り）すべての非自明な遺伝的プロパティが（ランダム化され決定性のある）決定木複雑度を持っていることを示すことができると思います。$\Theta(n^2)$

これがどこかに示されているかどうかを調べるために文献を検索しようとしましたが、参照が見つかりませんでした。そのため、私はそれを見つけることができませんでしたが、存在するか、定理が面白くないか、エラーを犯しました。

したがって、これはすべての遺伝グラフプロパティのグローバルプロパティの別の例です。

Erdős–Hajnal予想によれば、すべての遺伝族には、その中のグラフがクリークまたは多項式サイズの独立したセット（つまり、族に依存するが依存しないc > 0に対するを持つという性質がありますグラフ）。これは、最大のクリークと最大の独立セットが両方とも対数であるランダムグラフとは対照的です。$\Omega(n^c)$$c>0$

これは「逆」方向ですが、よく知られているAanderaa-Rosenberg-Karp予想は、単調上向きのグラフプロパティに適用されます（つまり、Gがプロパティを満たす場合、エッジセットにE（G ））。