グラフのプロパティの感度

[1]、グラフプロパティの（紙の「臨界複雑さ」と呼ばれる）感度がより厳密に大きいことトゥランショーグラフの頂点の数です。彼は、自明ではないグラフのプロパティには感度があると推測しています。彼は、これが検証されたことに言及しています。この推測について進展はありましたか？ $\lfloor {1\over 4} m \rfloor$ $m$ $\geq m-1$ $m \leq 5$

バックグラウンド

ましょにバイナリ文字列である。ビットを反転してから取得した文字列になるように、を定義します。ブール関数のための \に、規定の感度におけるとして。最後に、の感度をとして定義します。 $x$ $\{0,1\}^n$ $x^i$ $1 \leq i \leq n$ $x$ $i^{th}$ $f: \{0,1\}^n$ $\{0,1\}$ $f$ $x$ $s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$ $f$ $s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

グラフプロパティは、およびが同型である場合、ようなコレクショングラフです。グラフのプロパティは、プロパティの結合と考えることができます。ここで、は、頂点が個あるグラフで構成されるサブセットです。さらに、グラフプロパティは、（ブール関数）と。長さのバイナリベクトルで頂点のグラフをエンコードできます。 $\mathcal P$ $G \in \mathcal P$ $G'$ $G$ $G' \in \mathcal P$ $\mathcal P$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P$ $m$ $\mathcal P_m$ $\{0,1\}^n$ $n = {m \choose 2}$ $m$ $n$ ; ベクトル内の各エントリは頂点のペアに対応し、グラフにエッジが存在する場合、エントリはです。したがって、グラフプロパティの感度は、その感度quaブール関数です。 $1$

Turan、G。、グラフプロパティの重要な複雑性、情報処理レター 18（1984）、151-153。

graph-theory property-testing

— ムム
ソース

Buhrman and de Wolf（homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.ps）による2002年の調査を見ましたか？それはあなたの質問に直接答えるわけではありませんが、一般的な関数の感度に関する情報と、単調なグラフのプロパティに関する情報を持っています。

— Suresh Venkat

エンコードの必要性ビット

((\binom{m}{2}) + 1) \log m

$(\binom{m}{2}+1)\log m$

— ディエゴデエストラダ

Sureshが指摘した調査では、Wegenerによる論文[1]が出され、推測を部分的に確認しています。これは、すべての単調グラフのプロパティを保持し、不等式は厳密です（「孤立した頂点がありません」プロパティを考慮してください）。さらに最近の結果も歓迎します。

Wegener、L.すべての（単調な）ブール関数と単調なグラフプロパティの決定的な複雑さ。情報と制御、67：212-222、1985

— ムム
ソース