タグ付けされた質問 「graph-theory」

グラフ理論は、オブジェクト間のペアワイズ関係をモデル化するために使用される数学的構造であるグラフの研究です。

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であることが知られていないGI-ハードグラフの問題
グラフ同型()はN P中間問題の良い候補です。P = N Pでない限り、N Pの中間問題が存在します。Iは天然のために困難であるという問題を探していG Iカープ還元下(Aグラフ問題XようG I &lt; M個のP X)。GIGIGINPNPNPNPNPNPP=NPP=NPP=NPGIGIGIXXXGI&lt;mpXGI&lt;pmXGI <_p^m X 自然があるでもない-hardグラフ問題G Iの換算もあることが知られているN Pの -completeは?GIGIGIGIGIGINPNPNP

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無限グラフでは、それらなしでは証明できないことを証明できますか?
これは、無限グラフに関するこれへのフォローアップの質問です。 その質問に対する回答とコメントは、無限グラフによって自然にモデル化されるオブジェクトと状況をリストします。しかし、無限グラフについても多数の定理があり(Diestelの本の第8章を参照)、たとえば、ケーニッヒの無限補題は非常に有名です。 今、私は次の質問を持っています:無限グラフで何が証明できますか?より具体的には、何かを無限グラフとしてモデル化し、無限グラフに関する定理を呼び出して、最終的に元の問題について何かを証明した例は何ですか?

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木を持つ部分グラフ同型
我々は大規模な(有向)グラフがある場合はと小さい根付いた木の、のサブグラフ見つけるための最もよく知られている複雑なものですへの同型を?と両方がツリーであり、が平面であるか、ツリー幅(およびその他)に境界があるサブツリー同型の結果を知っていますが、このグラフとツリーの場合はそうではありません。 GGGHHHGGGHHHGGGHHHGGG

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グラフをノード分離サイクルに分割する
関連問題: Veblenの定理は、「グラフが偶数の場合にのみ、サイクル分解を認める」と述べています。サイクルはエッジがばらばらですが、必ずしもノードがばらばらではありません。別の言い方をすれば、「グラフのエッジセットをサイクルに分割できるのは、すべての頂点が偶数次である場合に限ります」。 私の問題:グラフをノード分離サイクルに分割することを誰もが研究したのだろうか。つまり、グラフGの頂点をV 1、V 2、⋯ 、V kに分割し、V iによって誘導される各サブグラフはハミルトニアンです。VVVGGGV1,V2,⋯,VkV1,V2,⋯,VkV_1, V_2, \cdots, V_kViViV_i NP困難ですか、それとも簡単ですか? より関連する問題: 三角形への分割はNP完全です。(「コンピューターと難治性」の68ページ) 事前にご連絡いただきありがとうございます。^^

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ハミルトニアンパスにマッチングを追加して、指定された頂点のペア間の最大距離を短縮します
次の問題の複雑さは何ですか? 入力: K nHHHハミルトン経路でKnKnK_n R ⊆ [ N ]2R⊆[n]2R \subseteq [n]^2頂点のペアのサブセット 正の整数kkk クエリ:すべての、一致する がありますか? (ここで)(V 、U )∈ R D G(V 、U )≤ K G = ([ N ] 、M ∪ H )MMM(V 、U )∈ R(v、あなたは)∈R(v,u) \in RdG(V 、U )≤ KdG(v、あなたは)≤kd_G(v,u) \leq kG = ([ n ] 、M∪ H)G=([n]、M∪H)G = ([n], …

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対角の無限グラフは無限成分を持っていますか?
我々はポイント接続と仮定無向エッジの集合用いいずれかのようにに接続されている、又はに接続されている独立に、均一にランダムにすべてのために、。(i + 1 、j )(i 、j + 1 )i 、jV= Z2V=Z2V = \mathbb{Z}^2EEE(i 、j )(i,j)(i, j)( i + 1 、j + 1 )(私+1、j+1)(i + 1, j + 1)(i + 1 、j )(私+1、j)(i + 1, j)(i 、j + 1 )(私、j+1)(i, j + 1)i 、j私、ji, j (この本のタイトルと表紙に触発されました。) このグラフが無限に大きい連結成分を持つ確率はどのくらいですか?同様に、グラフの平面埋め込みの補数である考えてください。補数に無限の連結成分がある確率はどのくらいですか?R2∖ GR2∖G\mathbb{R}^2 \setminus G 明らかに、すべての対角線が同じ方向を指している場合、グラフとその補数の両方に無限の成分があります。上記のような一様なランダムグラフはどうですか?

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DAGのすべての長いstパスを破棄するのにどれくらいの費用がかかりますか?
1つのソースノードsssと1つのターゲットノード持つDAG(有向非巡回グラフ)を考えますttt。同じ頂点のペアを結合する平行なエッジが許可されます。kkk - カットが除去全て破壊辺の集合でありsss - tttパスよりも長いkkk。短いsss - tttパスと長い「内部」パス(sssと間ではないttt)は生き残ることができます! 質問:kより長いすべてのs - tパスを破壊するために、DAGからエッジの 最大で約1 / k1/k1/k部分を削除するだけで十分ですか? ssstttkkk つまり、e (G )e(G)e(G)がのエッジの総数を示す場合GGG、すべてのDAG GGGは最大で約e (G )/ kエッジのkkkカットがありますか?2つの例:e (G )/ ke(G)/ke(G)/k 場合、すべての sss - tttパスの長さ持っ&gt; k&gt;k> k、その後、kkkとの留分≤ E (G )/ K≤e(G)/k\leq e(G)/kエッジが存在します。これは、kkk独立したkkkカットが存在する必要があるためです。ソースノードsからの距離に従ってのノードをレイヤー化するだけです。 GGGsss場合G = TnG=TnG=T_nある推移トーナメント(完全DAG)、その後もA kkk留分と エッジが存在する:修正 トポロジカル順序をノードの場合、ノードを長さ連続した間隔に分割し 、同じ間隔のノードを結合するすべてのエッジを削除します。これは、kより長いすべて -パスを破壊します。 ≤ K ( N / K2) ≈E(G)/K≤k(n/k2)≈e(G)/k\leq …

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最長のトレイルの問題は、最長のパスの問題よりも簡単ですか?
最長パスの問題はNPハードです。(典型的?)証明は、ハミルトニアンパス問題(NP完全)の縮小に依存しています。ここでは、パスは(ノード)シンプルであることに注意してください。つまり、パス内で頂点を複数回使用することはできません。したがって、明らかにエッジシンプルでもあります(パスでエッジが複数回発生することはありません)。 それでは、(ノード)シンプルパスを見つける要件を破棄し、エッジシンプルパス(トレイル)を見つけることに固執する場合はどうでしょう。一見、オイラーの小道を見つけることはハミルトニアンの道を見つけることよりもはるかに簡単なので、最長の道を見つけることは最長の道を見つけることよりも簡単であるという希望があるかもしれません。ただし、アルゴリズムを提供するものは言うまでもなく、これを証明する参考文献は見つかりません。 ここで行われた引数を知っていることに注意してください:https : //stackoverflow.com/questions/8368547/how-to-find-the-longest-heaviest-trail-in-an-undirected-weighted-graph ただし、引数これは、異なるグラフでノード単純なケースを解くことでエッジ単純なケースを解決できることを基本的に示しているため、現在の形式には欠陥があるようです(削減は間違った方法です)。他の方法でも機能するように削減を簡単に変更できるかどうかは明らかではありません。(それでも、少なくとも最長の問題は最長の問題より難しくないことを示しています。) 最長のトレイル(エッジシンプルパス)を見つけるための既知の結果はありますか?複雑さ(クラス)?(効率的な)アルゴリズム?

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関数のイータ等価性はHaskellのseq操作と互換性がありますか?
補題:我々はそれを持っているETA-同等と仮定すると(\x -&gt; ⊥) = ⊥ :: A -&gt; B。 証明:⊥ = (\x -&gt; ⊥ x)イータ等価、および(\x -&gt; ⊥ x) = (\x -&gt; ⊥)ラムダの下での還元。 Haskell 2010レポートのセクション6.2では、seq2つの式で関数を指定しています。 seq :: a-&gt; b-&gt; b seq⊥b =⊥ seq ab = b、a≠ifの場合 その後、「seqを使用してそれらを区別できるため、notは\ x-&gt; beと同じではありません」と主張します。 私の質問は、それは本当にの定義の結果seqですか? 暗黙の引数は、seq計算できない場合seq (\x -&gt; ⊥) b = ⊥です。しかし、私はそのようseqなものが計算できないことを証明することができませんでした。私にはそのようなa seqは単調で連続的であるように思われ、それは計算可能という領域にそれを置きます。 seqなどを実装するアルゴリズムは、starting で始まるドメインを列挙することxで、どこを検索しようとすることで機能する場合f x …

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スペース近似のトレードオフ
近似距離オラクル、Thorup、Zwickの論文で、重み付き無向グラフの場合、返すことができるサイズデータ構造を構築できることが示されました-グラフ内の頂点のペア間のおおよその距離。O (k n1 + 1 / k)O(kn1+1/k)O(k n^{1+1/k})(2 k − 1 )(2k−1)(2k-1) 基本的なレベルでは、この構造はスペースと近似のトレードオフを実現します。ソリューションの「品質」が低下しても、スペース要件を削減できます。 空間と近似の間にこのようなトレードオフを示す他のグラフの問題は何ですか? 静的グラフと動的グラフ、重み付きグラフと重みなしグラフ、無向グラフと有向グラフの両方に興味があります。 ありがとう。

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結び目問題に触発されたGIへのアプローチ
GIとKnot Problemはどちらも、数学的オブジェクトの構造的等価性を決定する問題です。それらの間の接続を確立する結果はありますか?ノット問題と統計物理学の結び付きは、ノット多項式を介して検討されていますが、でも同様の結果がありますかG IG私GI 結び目問題に動機付けられた調べる前に、標準の結果/警告/提案/コメントがあるかどうかを知ることは特に役立ちます。実際、修士論文のためにこの方向で探検することを勧めるかどうか疑問に思っていました。および代数問題に対する量子/古典的アプローチに興味があります。他の提案は大歓迎です。G IG私GIG IG私GI

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おそらくツリー幅に関連するグラフパラメーター
次のプロセスで生成できる個の頂点のグラフに興味があります。nnn 任意のグラフで始まるにK ≤ Nの頂点。内のすべての頂点ラベルGをとして使用されていません。GGGK ≤ Nk≤nk\le nGGG 新しいグラフ生成新しい頂点追加することにより、V 1つまたは複数に接続され、 未使用の頂点G、及び任意に接続されていない使用済みの頂点Gを。vに未使用のラベルを付けます。G′G′G'vvvGGGGGGvvv 頂点のラベル1 れるVはとして接続されて使用されます。G′G′G'vvv をG 'に設定し、Gにn個の頂点が含まれるまで手順2から繰り返します。GGGG′G′G'GGGnnn このようなグラフを「複雑さのグラフ」(あいまいな用語の謝罪)と呼びます。たとえば、Gは、複雑さ1のグラフであり、Gはパスです。kkkGGGGGG このプロセスが以前に研究されたかどうかを知りたいです。具体的には、任意のために、それはグラフが複雑持っているかどうかを決定するために、NP完全であり、kは?kkkkkk この問題は、かどうかの問題に多少似現れるある部分のk -tree、すなわち持っているツリー幅kは。Gのツリー幅がkであるかどうかを判断することはNP完全であることが知られています。ただし、一部のグラフ(たとえば星)のツリー幅は、ここで説明した複雑さの尺度よりもはるかに小さい場合があります。GGGkkk kkkGGGkkk 2012年10月4日:1週間後に決定的な回答がなかった後、MathOverflowに質問がクロスポストされました(ただし、因果フローに関する情報に感謝します)。


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通常のグラフのコンダクタンスと直径
無向、正則グラフ所与、その直径との関係は何である-として定義され、そのコンダクタンス- 2つのノード間の最大距離として定義される分S ⊂ V E (S 、SのC)G=(V,E)G=(V、E)G=(V,E)ここでe(S、Sc)はSとScの間で交差するエッジの数です。minS⊂V e(S,Sc)min(|S|,|Sc|),分S⊂V e(S、Sc)分(|S|、|Sc|)、\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},e(S,Sc)e(S、Sc)e(S,S^c)SSSScScS^c より具体的には、直径が少なくとも(または最大)であることを知っていると仮定します。これは、コンダクタンスについて何か教えてくれますか?そして、逆に、コンダクタンスが最大(または少なくとも)αであることを知っていると仮定します。これは、直径について何か教えてくれますか?DDDαα\alpha

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奇数サイクルを打つ
次の問題について何か知られていますか?それはまったく理にかなっていますか?それはなんと呼ばれていますか?それは他の問題と簡単に同等ですか?時間の複雑さは何ですか? 無向(一般/平面/有界度など)グラフG =(V、E)が与えられた場合、G '=(V、E-E')が接続され、 E 'のすべてのエッジeには、eを含むGの奇数の長さのサイクルがあり、E'には他のエッジは含まれません。(単純なサイクルのみを考慮します。つまり、頂点が2回表示されません) これは二分割に似ていますが、私が見た結果は、削除する必要がある頂点/エッジの最小数についてですが、削除できるエッジの最大数が必要です。 たとえば、次のグラフ: * - * - * / \ * - * - * - * \ / * - * - * 途中のパスのエッジの1つをカットして、奇数サイクルをすべて削除できます。ただし、2つのエッジを削除することにより、より良い結果を得ることができます。1つは上部ブランチに、もう1つは下部ブランチにあります。

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