通常のグラフのコンダクタンスと直径

無向、正則グラフ所与、その直径との関係は何である-として定義され、そのコンダクタンス- 2つのノード間の最大距離として定義される $G=(V,E)$ ここではと間で交差するエッジの数です。

\underset{S \subset V}{分} \frac{e （ S 、 S^{c} ）}{分 （ | S | 、 | S^{c} | ）} 、

$\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},$

e (S, S^{c})

$e(S,S^c)$

S

$S$

S^{c}

$S^c$

より具体的には、直径が少なくとも（または最大）であることを知っていると仮定します。これは、コンダクタンスについて何か教えてくれますか？そして、逆に、コンダクタンスが最大（または少なくとも）であることを知っていると仮定します。これは、直径について何か教えてくれますか？ $D$ $\alpha$

graph-theory co.combinatorics expanders

— ロビンソン
ソース

あなたが求めているプロパティは、グラフコンダクタンスではなくグラフ展開であるように見えます。

ここで、

として定義される

min_{S \subseteq V} e (S, \bar{S}) / min {v o l (S), v o l (\bar{S})}

$\min_{S \subseteq V} \ {e(S,\overline{S})}/{\min\{\mathsf{vol}(S), \mathsf{vol}(\overline{S})\}}$

v o l (S)

$\mathsf{vol}(S)$

\sum_{v \in S} \deg (v)

$\sum_{v \in S} \deg(v)$ 。あなたが望む財産はどれですか??

— Hsien-Chih Chang張顯之

@ Hsien-Chi Chang-グラフは規則的であるため、コンダクタンスと拡張は次数

乗法因子まで同じであると信じています。

d

$d$

— ロビンソン

ああ、私はグラフが規則的であることに気づきませんでした。説明してくれてありがとう。

— Hsien-Chih Chang張顯之

@ Hsien-ChihChang張顯之：グラフの拡張とグラフのコンダクタンスは同じ概念だと思いました。コメントに定義に関する参照がありますか？

— ティム

Hsiehが指摘するように、コンダクタンスの定義は、私が知っているものから係数で外れています。ここで、は通常のグラフの次数です。これは、通常のグラフのエッジ拡張とも呼ばれます。 $d$ $d$

エッジの拡張と直径の関係は、簡単に表示できます。直観的には、エキスパンダーは完全なグラフに「似ている」ため、すべての頂点は互いに「近接」しています。もっと正式に

\underset{S \subseteq V}{分} \frac{e （ S 、 S^{c} ）}{d \cdot 分 {| S | 、 | S^{c} |}} \geq α

$\min_{S \subseteq V}\ { \frac{ e(S, S^c) }{ d \cdot \min\{|S|, |S^c|\} }} \geq \alpha$

頂点任意のセットをで取得します、 $S$ 。少なくともありから出て、が正則であるため、の近傍（自体を含む）のサイズは少なくとも。任意の頂点に対してから始めて、この主張を帰納的に適用する $|S| \leq |V|/2$ $\alpha d |S|$ $S$ $G$ $d$ $S$ $S$ $(1+\alpha)|S|$ $S = \{u\}$ $u$ に対して、のホップ近傍のサイズが少なくとも。したがって、任意の頂点のホップ近傍は、ホップ近傍と交差する必要があります。交差しない場合、グラフは頂点、矛盾。だからあなたは $t = O(\log_{1 + \alpha } |V|)$ $u$ $t$ $|V|/2$ $t+1$ $v$ $t$ $u$ $|V|$

D = O （ \frac{ログ | V |}{ログ （ 1 + α ）} ）

$D = O\left(\frac{\log |V|}{\log (1 + \alpha)}\right)$

もちろん、直径の下限がエッジ拡張の上限を意味することにもなります。

直径が小さいことはコンダクタンスを意味するとは思わない。通常のグラフに固執しない（そしてHsiehの定義を使用する）場合、単一のエッジで接続された2つの完全なグラフは反例を示します。

— サショ・ニコロフ
ソース

私は答えを投稿しようとしていますが、今はする必要はありません、代わりにあなたの代わりに単に投票することができます;）良い答えをありがとう！

— Hsien-Chih Chang張顯之

あなたと私が研究に費やした合計時間が最小限に抑えられたことを願っています：）

— サショニコロフ

@robinson：この単純な事実と迅速な混合は、通常のグラフのエキスパンダーファミリの多くの（ほとんどの？）アプリケーションの基礎です。例えば小径のプロパティは、ログ・スペースで、STの接続性を解決するためのアプリケーションの基礎である

— Sashoニコロフ

私の最初の答えにはバグがありました。私が書いた議論は頂点の拡張に関するものでしたが、ここではエッジの拡張に取り組んでいます。私はバグを修正しましたが、現在のバウンドはわずかに悪化しています

— サショニコロフ