対角の無限グラフは無限成分を持っていますか？

我々はポイント接続と仮定無向エッジの集合用いいずれかのようにに接続されている、又はに接続されている独立に、均一にランダムにすべてのために、。（i + 1 、j ）（i 、j + 1 ）i 、$V = \mathbb{Z}^2$$E$$(i, j)$$(i + 1, j + 1)$$(i + 1, j)$$(i, j + 1)$$i, j$

（この本のタイトルと表紙に触発されました。）

このグラフが無限に大きい連結成分を持つ確率はどのくらいですか？同様に、グラフの平面埋め込みの補数である考えてください。補数に無限の連結成分がある確率はどのくらいですか？$\mathbb{R}^2 \setminus G$

明らかに、すべての対角線が同じ方向を指している場合、グラフとその補数の両方に無限の成分があります。上記のような一様なランダムグラフはどうですか？

確率は0です。

これは、次の定理（Grimmett's Probability on Graphs、http：//www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/USpgs-rev3.pdfの定理5.33を参照）から得られます。

定理結合パーコレーションを考えます。ここで、格子点間の各エッジは確率開いています。原点が無限連結成分にある確率は0です。$\mathbb Z^2$$\frac12$

私たちの問題からこの問題に減らすことができます：基本的には、結合パーコレーションの2つの互いに素な（しかし依存する）コピーです。エッジが原点を含むダイヤモンドの無限の格子を形成する構成考えます。すべてのエッジを反転すると、ダイヤモンドの別の無限格子ます。実際の構成とおよびの共通部分を考慮してください。これらはそれぞれ、ちょうど回転したの結合パーコレーションのモデルです。したがって、任意のポイントが無限クラスターにある確率は0です（のエッジはエッジに接続できません）。$\mathbb Z^2$$D_1$$D_2$$D_1$$D_2$$\mathbb Z^2$$45^{\circ}$$D_1$$D_2$

結論として、確率0の可算数のイベントの合計は確率0であることに注意してください。格子点が無限クラスターにある確率の合計。

（任意に大きなコンポーネントの存在は赤いニシンです。ポイントを修正し、それが無制限のコンポーネントにあるかどうかを尋ねる必要があります。）

うーん、まあ、これが最初の試みです。2つの重要なことを見てみましょう。

1. このグラフの接続成分が無限に大きい場合、ケーニヒの無限補題により、グラフは無限の単純な経路を持ちます。
2. グラフに無限の単純なパスがあるというイベントは、エッジの方向の個々の選択（したがって、エッジの選択のすべての有限セット）に依存しません。したがって、これはテールイベントであり、コルモゴロフのゼロと1の法則により、確率はゼロまたは1のいずれかです。

それで、それはゼロまたは1ですか？「タイプライターを持つ無限の猿」定理により、このグラフは確率1の任意の長さの単純なパスを含むため、推測することはできますが、すぐには明らかではありません。もちろん、確率1の無限パスを実際に持っていることを厳密に証明するには、さらに多くのことが必要です。

答えがイエスであるといういくつかの弱い経験的証拠があります。LET にランダムグラフである2 N + 1 × 2 N + 1ランダム各対角線を選択することにより定義された格子。到達可能性の推定値とnのプロットを以下に示します（パリティにより常に到達不可能な頂点は無視します）。$G_n$$2n+1 \times 2n+1$$n$

我々は、正方形を再スケールた場合は無限大に達し起源の確率が正であること：、確率はさらに意味しており、規模の円滑な機能の独立に収束するように表示されます。$[0,1]^2$

ただし、下降傾向を見るのに十分な計算をしていない可能性もあります（プロットは他のプロットよりも少し小さいようです）。$n = 800$

ここにコード：https : //gist.github.com/girving/16a0ffa1f0abb08934c2

更新：コメントで指摘されているように、補題は結局無限のパスを意味しないので、全体としてこの答えは間違っています。別の確率論的な方法で使用できるかどうかはわかりません。

答えはイエスです。無限のパスが存在します。実際、そのようなグラフにはすべて無限のパスが存在します。確率は必要ありません。

$G$$n \times n$$n \ge 2$

$G$

補題が真である場合、ジョーが述べたように、無限バージョンはケーニヒから続きます。（更新：間違っています、コメントを参照してください）