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与えられたグラフの頂点カバーの数を数える＃P-complete問題を考えてください。G=(V,E)G=(V,E)G = (V, E) このような問題の難易度がパラメーター（たとえば、）によってどのように変化するかを示す結果があるかどうかを知りたいです。GGGd=|E||V|d=|E||V|d = \frac{|E|}{|V|} 私の感覚では、がスパースであるときとがデンスであるときの両方で問題がより簡単になるはずですが、が「中間」にあるときは難しいはずです。これは本当ですか？GGGGGGGGG

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ハンガリーのアルゴリズムは、多項式時間で最大重みの二部マッチング問題を解決する組み合わせ最適化アルゴリズムであり、重要な主双対法の今後の開発が予想されます。このアルゴリズムは、1955年にHarold Kuhnによって開発および公開されました。このアルゴリズムは、2人のハンガリーの数学者であるDénesK andnigとJenőEgerváryの初期の作品に基づいているため、「Hungarian algorithm」と名付けられました。Munkresは1957年にアルゴリズムをレビューし、実際にポリタイムであることを観察しました。それ以来、このアルゴリズムはKuhn-Munkresアルゴリズムとしても知られています。 ハンガリー語には基本双対法の基本概念が含まれていますが、線形プログラミング（LP）機構を使用せずに、最大重量の2部マッチング問題を直接解決します。したがって、次の質問に答えて、ユッカ・スオメラはコメントしました もちろん、汎用LPソルバーを使用して任意のLPを解くことができますが、通常、特殊なアルゴリズムははるかに優れたパフォーマンスを発揮します。[...]正確な有理数と浮動小数点数の使用などの問題を回避することもできます。すべては整数で簡単に行えます。 言い換えれば、LPソルバーから有理数/浮動小数点の解を丸めて、特定の2部グラフの最大重み完全一致を取得する方法を心配する必要はありません。 私の質問は次のとおりです。 元のハンガリーのアルゴリズムの精神と同様に、LP機械を使用せずに一般的な無向グラフで機能するハンガリーのアルゴリズムの一般化はありますか？ オリジナルの複雑な紙ではなく、現代的で読みやすい説明を好むでしょう。しかし、どんなポインターでも大歓迎です！ 事前に感謝し、メリークリスマス!!! 更新：この質問には、以下のArmanが適切に回答しています。Edmondsのブロッサムアルゴリズム（重み付きの場合）を研究するためのもう1つの優れた情報源は、KorteとVygenによるCombinatorial Optimizationの第11章 です。Googleブックには、アルゴリズムを理解するために必要なほぼすべての部分が実際に示されています。

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私は、ウェブ上であちこちで見つけた講義ノートに基づいて、最小重みの二部完全マッチング問題に対するKuhn-Munkresアルゴリズムの実装を書きました。数千の頂点でさえ、本当にうまく機能します。そして、私はその背後にある理論が本当に美しいことに同意します。それなのに、どうしてそんな長さまで行かなければならなかったのか、まだ疑問に思っています。これらの講義ノートでは、なぜ主線形計画を単純にシンプレックス法に渡せないのかを説明していないことがわかりました。もちろん、予測可能なパフォーマンスの問題ではないかと疑っていますが、明確に述べられていないので、あまりよくわかりません。ポリトープのプライマルの極値は0-1であることが証明されているため、双対を定式化することなく、シンプレックス実装に直接供給することができるようです。それとも私は単純化していますか？

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暗号化モデルを修正しています。その不適切さを示すために、グラフ同型に基づいて考案されたプロトコルを考案しました。 「グラフ同型問題のハードインスタンス」を生成できるBPPアルゴリズムの存在を想定することは、「当たり前」です（まだ議論の余地があります！）。（同型の証人と一緒に。） 私の考案したプロトコルでは、1つの追加要件を満たすこのようなBPPアルゴリズムの存在を想定します。 生成されたグラフをおよびG 2とします。G 1をG 2にマップする目撃者（順列）は1つだけです。G1G1G_1G2G2G_2G1G1G_1G2G2G_2 これは、に自明な自己同型のみがあることを意味します。つまり、次のように機能するBPPアルゴリズムの存在を想定しています。G1G1G_1 入力、自明な自形のみを持つように、n頂点グラフG 1を生成します。1n1n1^nnnnG1G1G_1 ランダム順列選択かけて[ N ] = { 1 、2 、... 、N }、および上に適用G 1取得するG 2。ππ\pi[n]={1,2,…,n}[n]={1,2,…,n}[n]=\{1,2,\ldots,n\}G1G1G_1G2G2G_2 出力。⟨G1,G2,π⟩⟨G1,G2,π⟩\langle G_1,G_2,\pi \rangle 私はステップ1で、それを想定つもりだ、、必要に応じて発生させることができ、 ⟨ G 1、G 2は ⟩あるハードグラフ同型問題のインスタンス。（「ハード」という言葉を自然に解釈してください。正式な定義はAbadi et alによって与えられます。Impaliazzo＆Levinの論文も参照してください。）G1G1G_1⟨ G1、G2⟩⟨G1、G2⟩\langle G_1,G_2 \rangle 私の仮定は合理的ですか？誰かが私にいくつかの参考文献を教えてもらえますか？

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まばらな無向グラフの周囲をどのように見つけるか疑問に思います。スパースとは|E|=O(|V|)|E|=O(|V|)|E|=O(|V|)。最適とは、時間の複雑さが最も低いことを意味します。 無向グラフのためのタージャンのアルゴリズムの変更について考えましたが、良い結果が見つかりませんでした。実際、で2連結成分を見つけることができれば、最初の部分から達成できる何らかの誘導によって、胴回りを見つけることができると考えました。ただし、間違った方向に進んでいる可能性があります。（すなわち）よりも漸近的に優れたアルゴリズムを歓迎します。O(|V|)O(|V|)O(|V|)Θ(|V|2)Θ(|V|2)\Theta(|V|^2)o(|V|2)o(|V|2)o(|V|^2)

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Kargerのmincutアルゴリズムを使用して、グラフが持つことができる可能性のあるmincutの最大数が(n2)(n2)n \choose 2。 私は、ミニカットのセットから全単射（むしろ単射）証明を別のカーディナリティ。特別な理由はありませんが、それは単なる好奇心です。自分でやってみましたが、今のところ成功していません。私は誰もこれについて時間を浪費したくないので、質問が無意味であると思われる場合、私はモデレーターにそれに応じた行動を取るよう要求します。(n2)(n2)n \choose 2 ベスト-Akash

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Treewithは、グラフがツリーからどれだけ近いかを示す重要なグラフパラメーターです（厳密なトポロジの意味ではありません）。 ツリー幅の計算がNP困難であることはよく知られています。 ツリー幅の計算が難しい自然なグラフのクラスはありますか？ 同様に： ツリー幅の計算が簡単な興味深いグラフクラスはありますか？はいの場合、悪用される可能性のある構造プロパティ/テストはありますか？すなわち、グラフプロパティ有するX ⇒のツリー幅計算G ∈ Pを。GGGXXX ⇒⇒\RightarrowG∈PG∈PG \in \mathbf{P}

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どの無向グラフがすべての深さ優先探索ツリー（すべての可能な開始頂点および最初に探索するネイバーのすべての選択）の有向パスですか？つまり、すべてのDFSツリーにはリーフが1つしかなく、他のすべての頂点には子が1つだけ必要です。 たとえば、サイクル、完全なグラフ、バランスの取れた完全な2部グラフに当てはまります。 パスではないDFSツリーを見つけることは、明らかにNPにあります。NP完全ですか、それとも多項式ですか？

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グラフのクラスの構造を理解して、完全に一致する4つの頂点に頂点誘導サブグラフがないようにすることに興味があります。任意の4つの頂点のために別の言い方をすればにおける場合及びエッジである、グラフは、4つの頂点に少なくとも一つ以上のエッジを有するべきです。このクラスは以前に研究されましたか？参照や洞察をいただければ幸いです。二部グラフに制限されている場合、このクラスを理解しますが、一般的なケースはよりトリッキーです。GGGa 、b 、c 、da、b、c、da,b,c,dGGGa bababc dcdcd

13 graph-theory 

拡張性の問題では、ソリューションの一部が与えられ、それを完全なソリューションに拡張できるかどうかを判断したいと思います。いくつかの拡張性の問題は効率的に解決できますが、他の拡張性の問題は簡単な問題を難しい問題に変換します。 たとえば、ケーニッヒ・ホールの定理は、すべての3次2部グラフは3エッジのカラーリングが可能であるが、一部のエッジの色が与えられると拡張性バージョンは完全になるとNPNPNP述べています。 基本的な問題が簡単な（または上記の例のように些細な）ハード拡張性の問題の調査論文を探しています。

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各頂点に関連付けられた数値（）とターゲット数値有向非巡回グラフが与えられます。G ：V → N T ∈ NG = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)g：V→ Ng：V→Ng:V\to \mathbb{N}T∈ NT∈NT\in \mathbb{N} DAGサブセット和問題（別の名前で存在する可能性があり、参照が素晴らしい）は頂点が存在するかどうかを尋ねたとえば、およびはパスです。ΣのV I G （V 、I）= T V 1 → 。。→ v k Gv1、v2、。。。、vkv1、v2、。。。、vkv_1,v_2,...,v_kΣv私g（v私）= TΣv私g（v私）=T\Sigma_{v_i}g(v_i) = Tv1→ 。。→ vkv1→。。→vkv_1\to..\to v_kGGG 完全な推移的グラフは古典的なサブセット和問題を生成するため、この問題は簡単にNP完全です。 DAGサブセット和問題の近似アルゴリズムは、次の特性を持つアルゴリズムです。 合計Tのパスが存在する場合、アルゴリズムはTRUEを返します。 何らかのに対してと間の数までの合計パスがない場合、アルゴリズムはFALSEを返します。T C ∈ （0 、1 ）（1 − c ）T（1−c）T(1 − c)TTTTC ∈ （0 、1 ）c∈（0、1）c\in …

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グラフます。場合、私はテストしたいVは、 2つの互いに素の集合に分割することができるV 1及びV 2によって誘導されるサブグラフようにV 1及びV 2は、ユニットインターバルグラフです。G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)VVVV1V1V_1V2V2V_2V1V1V_1V2V2V_2 間隔番号を決定するNP完全性については知っていますが、上記の問題は異なります。現在、文献では、A。GyárfásとD. Westのマルチトラック間隔グラフでこの作品を見つけましたが、上記の問題に関連するかどうかはわかりません。 上記または同様の問題に関する既存の文献への引用は参考になります。上記の問題に正式な名前があるかどうかも教えてください。

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でBundeswettberweb Infomatik 2010/2011、興味深い問題がありました： 固定場合、最小kとマップ φを見つけます。{ （i 、j ）| I ≤ J ≤ N } → { 1 、... 、K }何三重がないように、と。nnnkkkφ ：{ （i 、j)|i≤j≤n}→{1,…,k}φ:{(i,j)|i≤j≤n}→{1,…,k}\varphi: \{(i,j)|i\leq j \leq n\}\rightarrow \{1,\ldots,k\}φ （i 、j ）= φ （i + l 、j ）= φ （i + l 、j + l ）（i 、j ）、（i + l、j ）、（i …

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次の問題を考慮してください。 入力：無向グラフ。 出力：Aグラフのマイナーであるのすべての未成年者の中で最も高いエッジ密度を有する、すなわち、最も高い比。G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)HHHGGGGGG|E（H）| / |V（H）||E（H）|/|V（H）||E(H)|/|V(H)| この問題は研究されましたか？多項式時間で解けるのか、それともNP困難なのか？未成年者が除外されたクラスのような制限されたグラフクラスを考慮するとどうなりますか？ 代わりに最も密な部分グラフを要求すると、問題は多項式時間で解くことができます。追加のパラメータを追加し、個の頂点を持つ最も密な部分グラフを要求する場合、問題はNP完全です（これは -clique から簡単に削減できます）。kkkkkkkkk

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平面グラフが与えられた場合、線形時間交差なしでグリッドに自由に埋め込むことができます。2つのエッジ間の最小角度が最大になるように、いくつかの小さなcについて、n c × n cグリッドに自由に交差する平面グラフを直線で埋め込む効率的なアルゴリズムが知られているかどうかに興味がありますか？n × nn×nn \times nnc× ncnc×ncn^c \times n^cccc

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