タグ付けされた質問 「graph-theory」

コードグラフのサブクラスである特定のグラフクラスにおける支配集合問題（DSP）の複雑さに興味があります。 グラフが無向ツリーのパスのファミリーの頂点交差グラフである場合、グラフは無向パスグラフです。UPを無向パスグラフのクラスにします。 グラフが無向ツリーのパスのファミリのエッジ交差グラフである場合、グラフはEPTグラフです。EPTグラフは和音ではないかもしれませんが、CEPTを和音EPTグラフのクラスにします。 グラフは、あるルート付き有向ツリー（つまり、すべてのアークがルートから離れる方向にある）の有向パスのファミリの頂点交差グラフである場合、（ルート付き）有向パスグラフです。RDPを（ルート化された）有向パスグラフのクラスにします。 我々はR D P⊆ CEPT⊆ UP⊆ C 、H 、O 、R 、Da lRDP⊆CEPT⊆うんP⊆chordalRDP\subseteq CEPT \subseteq UP\subseteq chordal DSPはRDPのグラフでは線形時間で解けるが、UPのグラフではNP完全であることが知られている[ Booth and Johnson、1981 ] 最大次数3の毛虫のような木の無向パスのファミリーの頂点交差グラフに対応する特別なグラフに興味があります。 1つの頂点が接続されています。このクラスをcat-UPと呼びましょう。 さらに、私の特別なグラフは、最大次数3の特定のツリーの無向パスのいくつかのファミリのエッジ交差グラフとして構築することもできます。 だから私の質問は： 1）cat-UPのグラフのDSPの複雑さはわかっていますか？（[ Booth and Johnson、1981 ] の削減により、最大次数3のホストツリーが生成されますが、毛虫からはかなり遠いことに注意してください） 2）CEPTのグラフのDSPの複雑さは？そして、最大次数3のホストツリーから生じるCEPTのグラフについては？（これはISGCIに知られていない） 3）密接に関連するグラフファミリのDSPに複雑な結果はありますか？

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Kempe-Kleinberg-Tardosによるこの論文では、著者は、劣モジュラ関数に基づいた貪欲なアルゴリズムを提案し、グラフ内の最も影響力のあるノードをソーシャルネットワークへの応用とともに決定します。kkk 基本的に、アルゴリズムは次のようになります。 S= e m p t y s e t S=empty setS = {\rm empty~set} 個々の影響が最も大きいノードを選択し、と呼びます。v1v1v_1S= S∪ V1S=S∪v1S = S\cup v_1 およびをネットワークの残りの部分に接続するすべてのエッジを削除しますv1v1v_1v1v1v_1 が個の頂点を持つまで繰り返すSSSkkk 私が持っている二つの質問のソーシャルネットワークで影響力のあるノードに関するを。 a）解決策を見つけるためのアルゴリズム、または分散化された方法での近似はありますか？ b）同じ問題を解決するために、ページランクなどの他のアルゴリズムを適用した人はいましたか？

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Chong、Han、およびLamは、O （m + n ）プロセッサーで時間でEREW PRAMで無向st-connectivityを解決できることを示しました。O(logn)O(logn)O({\log}n)O(m+n)O(m+n)O(m+n) 有向平面グラフのst-connectivityで最もよく知られている並列アルゴリズムは何ですか？ 実行時間、決定論的/ランダム化アルゴリズム、および使用されるPRAMモデルを明記してください（プロセッサの数が多項式であると仮定）。 この質問は、以前の質問の1つに関連しています。私の以前の質問は、必ずしも平面ではない一般的な有向グラフについてです。

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背景 この質問は、「ドラキュラ」と呼ばれるボードゲームによって動機付けられています。このゲームでは、吸血鬼が1人とハンターが4人います。ハンターの目的は吸血鬼を捕まえることです。ゲームはヨーロッパで行われます。ゲームは次のようになります 。1.ハンタープレイヤーはすべてのハンターを都市に置きます。同じ都市に複数のハンターを配置できます。 2.吸血鬼プレイヤーは吸血鬼を都市に置きます。 3.プレイヤーは、クリーチャーを隣接する都市に交互に移動します。 4.ハンタープレイヤーは自分の順番で、好きなだけハンターを移動できます。 5.主な難点は、吸血鬼のプレイヤーは常にハンターのいる場所を知っているが、ハンタープレイヤーは吸血鬼の開始位置のみを知っていることです。 6.ハンターと吸血鬼が都市で会うとき、吸血鬼プレーヤーは負けます。 質問 与えられたグラフと数字nおよびkに対して、nハンターを制御するハンタープレイヤーがkターン未満で吸血鬼を捕まえることを保証する戦略はありますか？Gは平面であると仮定できます。この問題は研究されましたか？いくつかの参考文献をいただければ幸いです。GGGnnnkkknnnkkkGGG

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最大独立セットの以下のLP緩和を試しました max∑iximax∑ix私\max \sum_i x_i st xi+xj≤ 1 ∀ （I 、J ）∈ E s.t. xi+xj≤1 ∀（私、j）∈E\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E バツ私≥ 0バツ私≥0x_i\ge 0 私が試したすべてのキュービック非二部グラフのすべての変数に対して1/21/21/2を取得します。 接続されているすべての立方体の2部グラフに当てはまりますか？ そのようなグラフに適したLP緩和はありますか？ 更新03/05： ネイサンが提案したクリークベースのLP緩和の結果は次のとおりです。 ここで実験をまとめました。 興味深いことに、最も単純なLP緩和が不可欠な非二部グラフがかなりあるようです。

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してみましょう有界クリーク幅を持つグラフのクラスです。Gの各グラフでは、いくつかのエッジが縮小されています（ランダムなど）。クリーク幅はまだ制限されていますか？GGGGGG （一般に）もはや制限されていない場合、反例に非常に興味があります。

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グラフのセットS（有限グラフ、ただしグラフの数は無限）と、Sに作用する順列のグループPがあるとします。 インスタンス：Pの順列p 質問：自己同型pを認めるグラフgがSに存在しますか？ この問題は、一部のセットSでNP完全ですか？ グラフが順列p（つまり、証明書）を受け入れることを確認するのは簡単です。さらに、Sが完全なグラフのセットであるなど、問題がNP完全ではないSの例を見つけるのは簡単であり、答えは常にyesです。 注：それらがどのような種類のグラフであるかについてはあまり興味がありません。あなたが好きなら、それらは単純ではない、監督されている、色付けされているなどです 補遺：現在検討している問題は、どのアイソトピズムがラテン方格のオートトピズムであるかを分類することです（これは特別なタイプのグラフ自己同型として解釈することもできます）。 ラテン方格L（i、j）が与えられた場合、次の方法でグラフを作成できます。 頂点セットは、マトリックス内のセル（i、j）のセットであり、 i = i 'またはj = j'またはL（i、j）= L（i '、j'）の場合は常に、個別の（i、j）と（i '、j'）の間にエッジがあります。 このようなグラフは、ラテン方陣グラフと呼ばれます（たとえば、BaileyとCameronによるこの記事http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdfを参照）。ラテン方格の自己トピズムは、ラテン方格グラフの自己同型として解釈できます。したがって、Sを次数nのラテン方陣から形成されたラテン方陣グラフのセットとします。だから私が興味を持っている質問は： 順列pが与えられた場合、pはSのグラフの1つ（またはそれ以上）の自己同型ですか？ 私の考えでは、一般的に答えるのは難しい質問です。現在、この問題について30ページ以上の論文を書いています（2人の共著者）。実際にはほとんどの場合それは簡単です（ほとんどの場合「いいえ」です）が、いくつかの難しいケースがあります。 それで、「対称性分類」に関連する決定問題を見つけることに興味があります。それらはラテン方格に関係する必要はありません。ラテン方格の質問に答えるためにこれらのテクニックを使用したいだけです。

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タイトルが言うように、ツリーの正しい定義は何ですか？制限されたツリー幅を持つグラフの代替定義としてkツリーと部分kツリーについて説明する論文がいくつかあります。たとえば、少なくとも1つの場所が定義しますkkkkkkkkk次のように kツリーをします。kkk グラフが呼び出される -tree場合といずれか一方のみあればGが有する完全グラフであるk個の頂点、又はGは頂点有するV度Kを- 1ようG ∖ vがあるk個の -tree。部分的なkツリーは、kツリーのサブグラフです。kkkGGGkkkGGGvvvk−1k−1k − 1G∖vG∖vG \setminus vkkkkkkkkk この定義に従って、次のグラフを作成できます。 エッジ、2ツリーから始めます。(v1,v2)(v1,v2)(v_1, v_2)222 以下のために、頂点作成V Iをしてまで、それは隣接作るV I - 1とV I - 2。i=1…ni=1…ni=1\ldots nviviv_ivi−1vi−1v_{i-1}vi−2vi−2v_{i-2} これを行うと、対角線で個の正方形のストリップが作成されます。同様に、上のストリップに直交する方向に最初の正方形からバンドの作成を開始できます。次に、n × nグリッドの最初の行と最初の列を作成します。頂点を作成し、頂点をその上部と左側の頂点に結合することにより、グリッドへの入力が簡単になります。nnnn×nn×nn \times n 最終結果は、グリッドを含むグラフになります。これは、実際には、ツリー幅であることがわかっています。n×nn×nn\times n。nnn kの正しい定義kkkツリーの、次のとおりである必要があります。 グラフが呼び出される場合-treeといずれか一方のみ場合Gは有する完全グラフであるk個の頂点、又はGは頂点有するV度Kを- 1の隣人ようにvが形成k個の -cliqueを、そしてGのvがありますkツリー。kkkGGGkkkGGGvvvk−1k−1k-1vvvkkkG vG vG \ vkkk そうすると、上記のようなグリッド状のグラフを作成できなくなります。 私は正しいですか？

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これは、Hフリーカットの問題に触発された質問です。グラフ、その頂点集合のパーティション所与へのR部V 1、V 2、... 、VのRがであるHの場合フリーG [ V I ]は、のコピー誘導しないHの全てについてI、1 ≤ I ≤ R。VVVrrrV1,V2,…,VrV1,V2,…,VrV_1, V_2, \ldots, V_rHHHG[Vi]G[Vi]G[V_i]HHHiii1≤i≤r1≤i≤r1 \leq i \leq r 次の質問を検討します。 r個の部分へのHフリーパーティションが存在する最小のは何ですか？rrrHHHrrr が単一のエッジである場合、これは色数を見つけることになり、すでにNP完全であることに注意してください。この問題の固定Hの NP完全性を表示する方が簡単かどうか（Hフリーカットの場合に比べて簡単です）。自明かもしれないと思いましたが、どこにも行きませんでした。私は非常に簡単なものを見逃している可能性が完全にあり、これが事実である場合、私はいくつかのポインタに感謝します！ HHHHHHHHH

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ペイリーグラフ PのQは、その頂点のセットによって与えられるものである有限体プライムパワーq≡1（MOD 4）のためのGF（Q）、および2つの頂点が隣接している場所であれば、それらはによって異なる場合にのみ、2一部のa∈GF（q）。qが素数の場合、有限体GF（q）はqを法とする整数の集合です。 最近の論文、Maistrelliとペンマンであるのみペイリーグラフことを示す完全 9つの頂点上の一である（色番号を有するが、その最大クリークの大きさに等しいです）。これは、特に、ペイリーグラフP qのいずれもq素数に完全ではないことを意味します。 強力パーフェクトグラフ定理は、グラフGが完全であると主張する場合とGとその補数の両方を欠いている場合にのみ、奇数の孔（奇数長さの周期で誘起サブグラフ、及びサイズの少なくとも5）プライムためのペイリーグラフであるの自己補完的かつ不完全; したがって、それらには奇数の穴が含まれている必要があります。 質問。q≡1（mod 4）素数の場合、P qの奇数ホールを見つけるためのpoly（q）アルゴリズムはありますか？polylog（q）アルゴリズムはありますか？ランダム性と一般的な数論的推測が許可されます。

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してみましょう 4つの頂点でサイクルすること。個の頂点とm個のエッジを持つ任意のグラフが、はいくつ存在しますか？これに下限はありますか？C4C4C_4GGGnnnm > n n−−√m>nnm>n\sqrt nC4C4C_4

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私は非常に具体的になりたいです。誰もが以下の命題の反論または証拠を知っていますか： ∃p∈Z[x],n,k,C∈N,∃p∈Z[x],n,k,C∈N,\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N}, ∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H), ∃φ∈L(Σgraph),∃φ∈L(Σgraph),\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}), |φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi. 直観的には、「 local」ステートメントを使用してすべての非同型グラフを区別できる場合、これは正しいはずです。これは間違っていると思います。もちろん、同乗を法とするグラフを指定するだけでよいため、多項式の量指定子の深さを使用してグラフを区別できます。Clog(n)kClog(n)kClog(n)^k φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈V2G∣i≠jxi≠xj).φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈VG2∣i≠jxi≠xj).\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists …

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私たちは、グラフとしましょう財産持っているその頂点を注文することができる場合グラフように頂点によって誘発されるがありすべての。つまり、順序付けで次の頂点を追加しても、現在のグラフの距離メトリックには影響しません。GGGMMMv1,v2,…vnv1,v2,…vnv_1, v_2, \ldots v_nHiHiH_i{v1,…,vi}{v1,…,vi}\{v_1, \ldots, v_i\}distHi(vj,vk)=distG(vj,vk)distHi(vj,vk)=distG(vj,vk)dist_{H_i} (v_j, v_k) = dist_G(v_j, v_k)j,k≤ij,k≤ij,k \leq i このようなグラフの例は、通常のグリッドです。n×nn×nn \times n このプロパティまたはグラフのクラスには名前がありますか？彼らは研究されましたか？

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グラフGGG頂点の最大セットのカーディナリティを見つける必要があります。そのため、可能な限りすべてのマッチングで頂点が存在します。 明らかに各頂点を削除し、それが減少するのを見るために最大一致を見つける以外に解決策はありますか？

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ましょう固定すること、およびlet Gは、（接続）のグラフです。誤解がない場合、Bodlaender [1、Theorem 3.11]の研究から、Gのツリー幅が約2 k 3以上の場合、Gには星K 1 、kがマイナーとして含まれることになります。kkkGGGGGG2k32k32k^3GGGK1,kK1,kK_{1,k} という用語を小さくできますか？つまり、少なくともkのツリー幅は、K 1 、kマイナーの存在をすでに暗示していると言えますか？どこかに証拠はありますか？2k32k32k^3kkkK1,kK1,kK_{1,k} [1] ボドレンダー、HL（1993）。深さ優先探索による線形時間マイナーテスト。Journal of Algorithms、14（1）、1-23。

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