Hフリーパーティション

これは、Hフリーカットの問題に触発された質問です。グラフ、その頂点集合のパーティション所与へ部である場合フリーのコピー誘導しない全てについて、。 $V$ $r$ $V_1, V_2, \ldots, V_r$ $H$ $G[V_i]$ $H$ $i$ $1 \leq i \leq r$

次の質問を検討します。

部分へのフリーパーティションが存在する最小のは何ですか？ $r$ $H$ $r$

が単一のエッジである場合、これは色数を見つけることになり、すでにNP完全であることに注意してください。この問題の固定 NP完全性を表示する方が簡単かどうか（フリーカットの場合に比べて簡単です）。自明かもしれないと思いましたが、どこにも行きませんでした。私は非常に簡単なものを見逃している可能性が完全にあり、これが事実である場合、私はいくつかのポインタに感謝します！ $H$ $H$ $H$

graph-theory np-hardness co.combinatorics

— ニールダラ
ソース

あなたは意味：すべてのために

とすべてのために

、の部分グラフ

によって誘発される

同型ではない

？

i

$i$

U \subseteq V_{i}

$U \subseteq V_i$

G

$G$

U

$U$

H

$H$

— ユッカスオメラ

これに関連する他の問題に対するRJKの答えは、この問題にも当てはまると思います（実際、他の問題よりも良い）。

— 伊藤剛

@Jukka：とてもそうです。ポインターに感謝し、それに応じて質問を更新するのが面倒だと（少なくとも今のところ）許してください！

— ニールダラ

@Tsuyoshi：それはあります、そして今、私もここで答えのより精巧なバージョンを持っています！ただし、「XとYを考えながらロードブロッキングを行う」という状況に陥ったため、これを投稿したと言っておく必要があります。Xについて考えていた残りの人のためにYの詳細を共有すべきだと思ったのですが、それは主に参照要求を意図したものではありませんでした：）

— ニールダラ

セルジュガスパーズは、ルイスとヤンナカキスの古い（1980年）論文を引用しました。

— RJK

回答:

このタイプの問題について私が知っている最も初期の参考文献は次のとおりです。これらは、他のスレッドで述べたCowen、Goddard、Jesurumの論文でも言及されています。

アンドリュースとジェイコブソン。（1985）色数の一般化について。プロセスでコンビナトリクス、グラフ理論、コンピューティングに関する第16回南東部国際会議（Boca Raton 1985）、Congr。数字。47 33–48。

Cowen、Cowen、Woodall。（1986）表面のグラフの色の欠陥：有界原子価のサブグラフへの分割。J.グラフ理論10 187–195。

ハラリー。（1985）グラフの条件付き彩色。Graphs and Applications（Boulder 1982）、Wiley–Interscience、pp。127–136。

Harary、およびJones（旧姓Fraughnaugh）。（1985）条件付き彩色II：2者間バリエーション。Procで。コンビナトリクスと関連トピックに関するサンダンス会議（Sundance 1985）、Congr。数字。50 205–218。

知る限りでは、Hのさまざまな選択に対する明示的なP / NP-cの二分法を示す論文はまだありません。」、準同型。

— RJK
ソース

非常に詳細な回答をありがとう-非常に感謝します。それは私の読書リストへの実質的な追加であり、それは私をしばらく忙しくしておくべきです！

— ニールダラ

さて、問題はありませんが、前に述べたように、JGTの論文のほかに、これらを追跡するのはかなり困難です。（実際、カナダの多くの大学図書館にアクセスしたにもかかわらず、まだあまり成功していないことを認めなければなりません。）いずれにしても、Cowen、Goddard、およびJesurumの論文はおそらく最も関連性が高く、H /固定グラフであり、平面グラフに制限されています。おそらく、あなたの歯を沈めるのに最適なHのオープン（私が思う？）クラスのHは、サイクルまたはクリークでしょう。

— RJK

「固定加法遺伝特性への頂点分割はNP困難」で、Alastair Farrugiaは、とが連結グラフの2つのファミリである場合、グラフを2つの部分に分割する問題が1つはフリーであることを証明しますもう一方のフリーはNPハードです。ただし、両方が $F_1$ $F_2$ $F_1$ $F_2$ $F_1$ $F_2$ が単一のエッジで構成されです。

（Fフリー= {FのすべてのH、Hフリー}）

www.combinatorics.org/Volume_11/PDF/v11i1r46.pdfを参照してください

— アラビンド
ソース