Hフリーカットの問題

接続された単純な無向グラフHが与えられたとします。

Hフリーカットの問題は次のように定義されます。

単純な無向グラフGが与えられた場合、カットセット（LおよびR）によって誘導されるグラフの両方にHに同型なサブグラフが含まれないようなカット（頂点を2つの空でないセットL、Rに分割）があります。

たとえば、Hが1つのエッジで接続された2つの頂点を持つグラフである場合、問題はグラフが2部でPにあるかどうかを判断することと同じです。

Hが三角形の場合、これは単色三角形問題の頂点バージョンに似ています。

Hが少なくとも3つの頂点で2連結されている場合、Hフリーカットの問題はNP完全であることを示すことができたと思います。

私はこの問題への参照を見つけることができませんでした（そして、結果も）。

2連結性条件を削除しても、NP完全性を証明できますか？

上記またはより強力な結果を意味する既知の結果を知っている人はいますか（または関連があると思われますか）？

「カット」ではなく「バイパーティション」または「頂点パーティション」または「カラーリング」という用語を検索できます。あなたが示唆する線に沿った色数のさまざまな一般化は、80年代半ば（またはそれ以前）から考えられてきました。カナダのコンビナトリクス会議には見つけにくい初期の参考文献がいくつかありますが、Cowen、Goddard、およびJesurum（JGTまたはSODA 1997）および関連する参考文献/引用を確認してください。

2011年2月15日編集

AravindとMoronが指摘したように（以下のコメントで）、以下の参考文献は、フリーカットの問題が些細な場合を除いてNP困難であることを示しています。$H$

D.アクリオプタス。フリーの彩色性の複雑さ。離散数学。165/166（1997）21-30。[pdf]。$G$

A.ファルジア。固定添加剤誘導遺伝特性への頂点分割はNP困難です。電子。J.コンビン。11（2004）＃R46（9 pp）。

これはあなたの質問（参考文献について）に直接答えないかもしれないことを理解していますが、2連結条件なしでNP硬さを示すための可能なアプローチを概説したいと思います。欠けているものが2つあります。1つは、いわば「ソースの問題」のNP困難性の証拠です。もう1つは、役に立たないかもしれません。最初のボトルネックについては、定式化が面倒だという証拠が頭の中にあると思うので、すぐにそれを理解できることを願っています。しかし、これまでのところほとんど運がなく、色付きのバージョンをあなたが提示したものに減らすことを考えました。また、Hが2連結である場合のあなたの証明についても非常に興味があります。詳細を提供していただけますか。

したがって、色付きのバージョンは次のようになります。グラフの各頂点には、パレットP（固定の有限セット）からの色のリストが装備されています。パーティションがHの単色コピーを誘発しないようにカットを見つける必要があります。つまり、| H |のサブセットはありません。Hのコピーを引き起こす頂点、および対応する色のリストには空でない交差があります。

以下は、d-SATの制限されたバリアントからの削減です。dは| H |です。（d = 2の場合、これは明らかに機能しないことに注意してください）。

d-SATの制限付きバリアントは次のとおりです。

1. すべての句には、正または負のリテラルのみがあります。これらの句をそれぞれP句およびN句と呼びます。

2. すべてのP句をN句とペアにして、2つの句に同じ変数セットを含めることができます。

（この一見制限されたバージョンが難しい理由については、いくつかの考えがあります-非常に密接に関連する制限は難しく、簡単に間違えられる可能性がありますが、そこからの削減を想像できます！

この問題を考えると、おそらく削減はそれ自体を示唆しています。グラフには、式の変数ごとに頂点があります。すべての節C_iについて、節に参加する変数のセットにHのコピーを誘導し、この頂点のセットに色iを追加します。これで構築は完了です。

割り当ては当然、カットに対応します。

L = 0に設定されたすべての変数のセット、R = 1に設定されたすべての変数のセット

主張は、満足のいく割り当てが単色Hフリーカットに対応するということです。

言い換えれば、（L、R）は、満足のいく割り当てによって与えられた場合、LもRもHの単色コピーを誘導しないようなものになります。Lにそのようなコピーがある場合、対応するP節がすべての変数は0に設定されますが、これは割り当てが満たされているという事実と矛盾します。逆に、Rにそのようなコピーがある場合、対応するN節のすべての変数が1に設定されている必要があります。

逆に、カットを検討し、一方の変数を1に設定し、もう一方の変数を0に設定します（どの方法を使用してもかまいません-作業している式の種類、割り当て、および反転充足可能性に関する限り、バージョンは同等です）。この割り当てで節が満たされない場合、片側のHの単色コピーまでトレースバックでき、カットの単色Hフリーネスと矛盾します。

カラーリングにふける必要があるのは、直接の削減の試みで、Hのコピーが句に対応しないHの偽のコピーを作成するために干渉する可能性があるためです。実際、Hがパスのような単純なものであっても、失敗します-ひどく-。

色を取り除くことができなかったので、問題をもっと簡単にしたかどうかはわかりません。ただし、正しい場合は、それが出発点になることを願っています。