ツリーの正しい定義は何ですか？

タイトルが言うように、ツリーの正しい定義は何ですか？制限されたツリー幅を持つグラフの代替定義としてkツリーと部分kツリーについて説明する論文がいくつかあります。たとえば、少なくとも1つの場所が定義します$k$$k$$k$次のように kツリーをします。$k$

グラフが呼び出される -tree場合といずれか一方のみあればGが有する完全グラフであるk個の頂点、又はGは頂点有するV度Kを- 1ようG ∖ vがあるk個の -tree。部分的なkツリーは、kツリーのサブグラフです。$k$$G$$k$$G$$v$$k − 1$$G \setminus v$$k$$k$$k$

この定義に従って、次のグラフを作成できます。

1. エッジ、2ツリーから始めます。$(v_1, v_2)$$2$
2. 以下のために、頂点作成V Iをしてまで、それは隣接作るV I - 1とV I - 2。$i=1\ldots n$$v_i$$v_{i-1}$$v_{i-2}$

これを行うと、対角線で個の正方形のストリップが作成されます。同様に、上のストリップに直交する方向に最初の正方形からバンドの作成を開始できます。次に、n × nグリッドの最初の行と最初の列を作成します。頂点を作成し、頂点をその上部と左側の頂点に結合することにより、グリッドへの入力が簡単になります。$n$$n \times n$

最終結果は、グリッドを含むグラフになります。これは、実際には、ツリー幅であることがわかっています。$n\times n$。$n$

kの正しい定義$k$ツリーの、次のとおりである必要があります。

グラフが呼び出される場合-treeといずれか一方のみ場合Gは有する完全グラフであるk個の頂点、又はGは頂点有するV度Kを- 1の隣人ようにvが形成k個の -cliqueを、そしてGのvがありますkツリー。$k$$G$$k$$G$$v$$k-1$$v$$k$$G \ v$$k$

そうすると、上記のようなグリッド状のグラフを作成できなくなります。

私は正しいですか？

私は基本的にあなたに同意しますが、ほんのわずかな変更を加えただけです。

グラフ$G$であり、$k$いずれかの場合にのみ-tree $G$有する完全グラフである$k+1$の頂点、又は$G$頂点有する$v$の（オープン）近傍ような$v$フォームA $k$ -clique、及び$G - v$あるの$k$ -tree。

言い換えると、$v$は次数$k$、代わりに$k-1$あなたの定義でが必要です。

私は個人的にボトムアップの定義を好みますが、これは好みの問題です。

• $k+1$頂点の完全なグラフはa $k$ツリーです。
• A $k$ -tree $G$と$n+1$の頂点（$n\ge k+1$）から構成することができる$k$ -tree $H$と$n$正確に隣接する頂点を追加することによって、頂点$k$構成する頂点$k$に-clique $H$。
• 他のグラフは$k$ツリーではありません。

この定義は、Pinar Heggernesの講義ノートの定義をわずかに修正したものです。