すべての最大一致に存在する頂点の数

グラフ$G$頂点の最大セットのカーディナリティを見つける必要があります。そのため、可能な限りすべてのマッチングで頂点が存在します。

明らかに各頂点を削除し、それが減少するのを見るために最大一致を見つける以外に解決策はありますか？

時間で計算できるグラフのEdmonds-Gallai分解が必要だと思います（これらの注を参照）。$O(n^3)$

グラフは2部構成ですか？なぜなら、もしそうなら：二分割の片側が左で、もう片側が右であると仮定してください。最大一致を見つけ、一致したすべてのエッジを左から右に、一致しないすべてのエッジを右から左に向けます。次に、次の3つの（相互に排他的な）条件のいずれかが当てはまる場合にのみ、頂点を最大一致から除外できます。$v$

• はすでに一致していません$v$
• は、結果の有向グラフのバイパーティションの側にある一致しない頂点から到達できます。$v$
• $v$

幅優先または深さ優先の2つの検索を実行することで、1つは一致しない頂点から到達できるグラフの部分を検索し、もう1つは不一致の頂点に到達できる部分を検索することで、線形時間で重要な頂点を見つけることができますすでに一致しています。

おそらく、このようなものは、花を収縮する交互経路検索を使用して、2者間でないケースでも機能しますが、詳細はより複雑になります。