注文時にサブグラフの距離を保持するグラフのクラスのリファレンス

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私たちは、グラフとしましょう財産持っているその頂点を注文することができる場合グラフように頂点によって誘発されるがありすべての。つまり、順序付けで次の頂点を追加しても、現在のグラフの距離メトリックには影響しません。 $G$ $M$ $v_1, v_2, \ldots v_n$ $H_i$ $\{v_1, \ldots, v_i\}$ $dist_{H_i} (v_j, v_k) = dist_G(v_j, v_k)$ $j,k \leq i$

このようなグラフの例は、通常のグリッドです。 $n \times n$

このプロパティまたはグラフのクラスには名前がありますか？彼らは研究されましたか？

reference-request graph-theory

— ミッチ
ソース

んグラフの単純な例ではない、この性質を持っているである

ため-cycle

。任意の順序のために、部分グラフが、これは、

接続する必要があり、そう時

、

長さのラインである

、およびいくつかの2つの頂点であるので距離

離れ。

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

H_{i}

$H_i$

i = ⌊ k / 2 ⌋ + 2 < k

$i = \lfloor k/2 \rfloor +2 < k$

H_{i}

$H_i$

i - 1

$i-1$

i - 1 > ⌊ k / 2 ⌋

$i-1 > \lfloor k/2 \rfloor$

— アンドリューモーガン

一方、良い次数

を見つけるための自然な候補は、

任意の選択からBFSを行うことです。表示することにより、

いくつかの余分なエッジを持つBFSツリーとして、それが財産有することにのみ障害物のように思える

「のような」何かであるためにある

について-cycle

で

。「いいね」とは、

サイクル

があることを意味し

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1, \ldots, v_n$

v_{1}

$v_1$

G

$G$

M

$M$

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

G

$G$

k

$k$

と

ように

で

。このようなサイクルを「最小」と呼ぶと、プロパティ

が少なくとも5の長さの最小サイクルが存在しないことに等しいというのは本当ですか？

v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1} = v_{1}

$v_1, \ldots, v_k, v_{k+1}=v_1$

k \geq 5

$k \ge 5$

d (v_{i}, v_{j}) = | i - j |

$d(v_i,v_j) = |i-j|$

G

$G$

M

$M$

— アンドリューモーガン

1

立方体には、誘導された等尺性の6サイクルがあります（立方体の反対側の2つの頂点を削除します。残っているのは6サイクルです）が、距離を維持して注文できます（BFSなど）したがって、

サイクルは必ずしも障害ではありません。この例は、他の順序付けが機能する場合でも、距離を保持する頂点を貪欲に削除するとスタックする可能性があることも示しています。

k

$k$

— デビッドエップスタイン

8

この論文で研究したグラフのクラスを形成する距離を維持した消去順序を認めるグラフについて尋ねているように思われます。

http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480195291230?journalCode=sjdmec

— ジム
ソース

2

著者のウェブページでも自由に利用できます：lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/dpo.ps

— Florent Foucaud

8

グラフのクラス全体に対する答えはありませんが、このプロパティを持つグラフの3つのサブクラスは、距離遺伝グラフ、和音グラフ、および中央値グラフです。

距離遺伝的グラフは、接続されたすべての誘導サブグラフが同じ距離を持つというプロパティによって定義されます。したがって、任意の開始頂点を選択し、連続する各頂点を、以前に選択した頂点に隣接する、まだ選択していない頂点として選択できます。 $v_1$

コードグラフは、連続する各頂点が追加されると、隣接するクリークを持つというプロパティを持つ順序を持つグラフです。この順序は明らかに距離を維持します。

同様に、中央値グラフ（グリッドの例を含む）には、幅優先の順序で、各頂点が追加された時点でハイパーキューブ近傍を持つというプロパティがあります。（Eppstein et al、 "Media Theory"、Springer、2008の76〜77ページを参照）。繰り返しますが、このプロパティは、追加によって前の頂点間の距離を変更できないことを意味します。

名前がわからないグラフのクラスがあります。これは、和音グラフと距離遺伝グラフの両方を一般化したもので、多項式時間で認識でき、特性を持っています。これらは、頂点を1つずつ追加することで単一の頂点から構築できる連結グラフであり、各新しい頂点の近傍は、前のグラフの閉じた近傍の1つのサブセットです。それらは、解体可能なグラフとほぼ同じですが、まったく同じではありません、違いは、新しい頂点が、近傍がコピーされる頂点に隣接する必要がないことです。コーダルグラフの消去順序は、このタイプの構造で、新しい頂点ごとに近傍のクリークサブセットが選択されます。同様に、距離遺伝的グラフはこのタイプの構造を持ち、各新しい頂点の近傍は、閉じた近傍全体、開いた近傍、または単一の頂点です。新しい各頂点は前の頂点の距離を変更できないため、この構築シーケンスには探しているプロパティがあります。

頂点vをこのシーケンスの最後の頂点にできる場合（他の誰かの閉じた近傍のサブセットである開いた近傍を持つ場合）に「除去可能」と定義すると、他の除去可能な頂点を削除してもvの除去可能性は変わりません：vの近傍がuのサブセットであり、uをwのサブセットである近傍として削除する場合、vはその近傍がwのサブセットであるため、依然として除去可能です。したがって、グラフを元に戻してアンチマトロイドを形成するために実行できる削除手順のシーケンス、そのようなシーケンスの1つは、グリーディアルゴリズムによって多項式時間で見つけることができます。グリーディアルゴリズムは、取り外し可能な頂点が見つかるたびに繰り返し削除します。このアルゴリズムの出力を逆にすると、指定されたグラフの構築シーケンスが得られます。立方体のグラフは、プロパティ（中央値グラフ）を持つグラフの例を示していますが、この方法では構成できません。この方法で作成できる中央値グラフは、正方グラフ（通常のグリッドを含む）であると思います。このタイプの構築シーケンスを持つグラフには、ホイールグラフなどの普遍的な頂点を持つすべてのグラフも含まれるため、（コードグラフや距離遺伝グラフとは異なり）完全ではなく、誘導サブグラフの下で閉じられません。

— デビッド・エップスタイン
ソース

よくわからないこのクラスのグラフのプロパティは、支配の排除順序を連想させます。：本論文では、元の質問に関連すると思われるepubs.siam.org/doi/abs/10.1137/...

— JimN

ドミナトロンの除去順序は、dlsmantlabilityと同じかもしれないと思います。しかし、その論文を実際の回答にリンクする必要があります。「距離を保持する消去順序」は、元の質問がまさに求めているものだからです。

— デビッドエップスタイン