巡回ペイリーグラフの奇妙な穴を見つける

ペイリーグラフ Pの_Qは、その頂点のセットによって与えられるものである有限体プライムパワーq≡1（MOD 4）のためのGF（Q）、および2つの頂点が隣接している場所であれば、それらはによって異なる場合にのみ、²一部のa∈GF（q）。qが素数の場合、有限体GF（q）はqを法とする整数の集合です。

最近の論文、Maistrelliとペンマンであるのみペイリーグラフことを示す完全 9つの頂点上の一である（色番号を有するが、その最大クリークの大きさに等しいです）。これは、特に、ペイリーグラフP _qのいずれもq素数に完全ではないことを意味します。

強力パーフェクトグラフ定理は、グラフGが完全であると主張する場合とGとその補数の両方を欠いている場合にのみ、奇数の孔（奇数長さの周期で誘起サブグラフ、及びサイズの少なくとも5）プライムためのペイリーグラフであるの自己補完的かつ不完全; したがって、それらには奇数の穴が含まれている必要があります。

質問。q≡1（mod 4）素数の場合、P _qの奇数ホールを見つけるためのpoly（q）アルゴリズムはありますか？polylog（q）アルゴリズムはありますか？ランダム性と一般的な数論的推測が許可されます。

既知のpoly（q）アルゴリズムがあると思います。Chudnovsky、Cornuéjols、Liu、Seymour、およびVuškovićによるアルゴリズムの理解、「Recognizing Berge Graphs」、Combinatorica 2005は、多項式時間の完全でないグラフで奇数ホールまたは奇数アンチホールを見つけることです。著者は論文の2ページ目に、それらのアルゴリズムのステップ1と3が穴を見つけますが、ステップ2が代わりに反穴を見つけるかもしれないので、それらを持つグラフの奇妙な穴を見つける問題は開いたままです。ただし、Paleyグラフの場合、反穴が見つかった場合は、その中のすべての頂点に非剰余を掛けて、代わりに奇数の穴に変えます。

または、Radoグラフと同様に、k個ごとにNが存在し、N個以上の頂点のPaleyグラフが拡張プロパティを持つ必要があります。 1つのカラークラスのすべての頂点に隣接し、他のカラークラスのすべての頂点に隣接しない別の頂点が存在します。その場合、k = 5の場合、ステップあたりの多項式時間で貪欲に奇数の5穴を構築できます。たぶん、この方向はpoly（log（q））アルゴリズムに期待できますか？うまくいけば、少なくとも奇妙な穴があることを少なくとも示します。それは、それらを素早く見つけるために必要な前提条件のようです。

実際、以下がpoly（log（q））アルゴリズムであったとしても驚かないでしょう：qが一定の定数よりも小さい場合、答えを調べ、そうでなければ、数字を順番に検索して貪欲に奇数の5穴を構築します部分的な5穴の一部として追加できる頂点の場合は、0、1、2、3、... しかし、poly（log（q））時間で動作することを証明するには、いくつかの深い数の理論が必要です。

Chung、Graham、およびWilsonの結果、「準ランダムグラフ」、Combinatorica 1989、次のランダム化アルゴリズムは、qが素数である場合の一定の予想試行回数で問題を解決します。それ以外の場合は、ランダムに5つの頂点のセットを繰り返し選択し、それらが奇数の穴を形成しているかどうかを確認し、そうであればそれを返します。しかし、彼らはqが素数ではなく素数の力である場合に機能するかどうかを言わないので、その場合はもっと注意する必要があるかもしれません。