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レッツは、グラフの家族と言うた長いパスを誘導している場合は定数ε > 0など、すべてのグラフというGでFは上の誘導パスが含まれています| V （G ）| ϵFF\mathcal{F}ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0GGGFF\mathcal{F}|V(G)|ϵ|V(G)|ϵ|V(G)|^{\epsilon}頂点。長い誘導経路の存在を保証するグラフファミリのプロパティに興味があります。特に、現在、一定次数のエキスパンダーが長い誘導経路を持っているのではないかと考えています。これが私が知っていることです。 一定の平均次数を持つランダムグラフ（Erdős–Rényiモデル）では、確率が高く（線形サイズでも）誘導されたパスがあります。たとえば、Suenの記事を参照してください。 一意の隣接エキスパンダーグラフ（AlonとCopalboで定義）には、大きな誘導ツリーがあります。実際、このようなグラフでは、最大の誘導ツリーは大きくなります。 これらの2つの事実を考えると、同程度のエキスパンダーには長い誘導経路があると予想されます。しかし、具体的な結果を見つけることができませんでした。洞察は大歓迎です。

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グラフプロパティは、頂点の削除に関して閉じられている場合、遺伝的と呼ばれます（つまり、すべての誘導されたサブグラフがプロパティを継承します）。グラフのプロパティは、互いに素なユニオンの取得に関して閉じている場合、加算的と呼ばれます。 遺伝性のプロパティを見つけることは難しくありませんが、相加的ではありません。2つの簡単な例： \;\;\; （1）グラフが完成しました。 \;\;\; （2）グラフには2つの頂点独立サイクルが含まれていません。 これらの場合、プロパティが誘導されたサブグラフに継承されることは明らかですが、プロパティを持つ2つの互いに素なグラフを取ると、それらの結合はそれを保持しない場合があります。 上記の例は両方とも、ポリタイムで決定可能なプロパティです（ただし、（2）の場合はやや簡単です）。より難しいプロパティが必要な場合は、（2）のパターンに従って作成することもできますが、サイクルをより複雑なグラフタイプに置き換えます。ただし、N P ≠ c o N Pなどの標準的な複雑さの仮定の下では、問題がさえ残っていない状況に簡単に陥ることがあります。N P内に留まる例を見つけることはささいなことではないように見えますが、それでも困難です。NPNPNPNP≠coNPNP≠coNPNP\neq coNPNPNPNP 質問：遺伝的であるが加算的ではない（できれば自然な）完全なグラフプロパティを知って いますか？NPNPNP

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インスタンス： Anがグラフ無向 2つの識別頂点とS ≠ T、および整数K ≥ 2。GGGs≠ts≠ts\neq tk≥2k≥2k\geq 2 質問：そこ存在するパスをG、例えばせいぜい経路触れることがk個の頂点？（頂点がパス上にあるか、パス上に隣接点がある場合、頂点はパスに接触します。）s−ts−ts-tGGGkkk

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私は小さなグラフを探していそのベクトル色数色数未満であるχ V（G ）&lt; χ （G ）。GGGχv（G ）&lt; χ （G ）χv（G）&lt;χ（G）\chi_v(G)<\chi(G) （ベクトル色番号有するQを割り当てがある場合、X ：V → Rと D。隣接する頂点に関連付けられた直感的ベクターは遠く離れている必要があり、⟨ X （V ）、X （W ）⟩ ≤ - 1 /（q − 1 ）。たとえば、q = 3の場合、三角形の頂点で十分です。）GGGqqqx ：V→ Rdバツ：V→Rdx\colon V \rightarrow \mathbf R^d⟨ X （V ）、X （W ）⟩ ≤ - 1 /（Q− 1 ）⟨バツ（v）、バツ（w）⟩≤−1/（q−1）\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)q= …

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しきい値グラフを拡張することで定式化されます。がクリークで、が独立集合であるしきい値グラフが与えられた場合、私の拡張は次のとおりです。各頂点は、の頂点が同じになるように新しいクリーク置き換えることができます。近傍。C I V ∈ I K用のV K用のV V(C,I)(C,I)(C,I)CCCIIIv∈Iv∈Iv\in IKvKvK_vKvKvK_vvvv これは研究されるべきだったと思うが、graphclasses.orgでそのようなものを検索するのは難しい。

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Weisfeiler-Lehman（WL）法によるグラフ同型の有名な反例では、この論文でCai、Furer、Immerman が次のガジェットを作成しました。彼らは、グラフ構築によって与えられるがX k = （V k、E k）Xk=(Vk,Ek)X_k = (V_k, E_k) VのK = K ∪ BのK ∪ M K どこ K = { I | 1 ≤ I ≤ K } 、BのK = { B I | 1 ≤ I ≤ K } 、 及び Mk={mS∣S⊆{1,2,…,k}, |S| is even}Ek={(mS,ai)∣i∈S}∪{(mS,bi)∣i∉S}Vk=Ak∪Bk∪Mk where Ak={ai∣1≤i≤k},Bk={bi∣1≤i≤k}, …

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ハードコアボソンの量子ランダムウォーク（対称だが二重占有ではない）を使用して、グラフ同型問題を攻撃するための努力がいくつか行われました。有望と思われる隣接行列の対称性は、Amir Rahnamai BarghiとIlya Ponomarenkoによって、この論文の一般的なグラフでは不完全であることが証明されました。この論文では、他の同様のアプローチも ジェイミー・スミスによって反論されました。これらの論文の両方で、彼らはコヒーレントな構成（スキーム）とセルラー代数の代替だが同等の定式化（有限集合-ここで頂点集合-点ごとの乗算、複素共役転置で閉じられ、含む単位行列Iおよびオールワン行列J）それぞれ必要なカウンター引数を提供します。 それらの議論に従うことは非常に困難であり、個々の議論に漠然と従ったとしても、私は核となる考えを理解していません。スキーム理論やセルラー代数の言語を使用せずに、議論の本質を一般的な用語で説明できるかどうかを知りたいと思います。

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ここ：http : //www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf（章の埋め込み）には、平面グラフの組み合わせ埋め込みの定義が与えられています。（面の定義など）どんなグラフにも簡単に使用できますが、平面グラフをオイラー公式が保持するグラフとして定義します（グラフが接続されていると仮定）。すべての平面グラフで、コンビナトリアル埋め込みの面の定義が、トポロジカル埋め込みの面の定義に似ていることはかなり理解できます。（グラフが接続されていると仮定します。そうでなければ、組み合わせ埋め込みでは、接続されたすべてのコンポーネントに対して無限の面を持ちます） 問題は、接続されたグラフの組み合わせ埋め込みがオイラー公式を満たしている場合、これはこのグラフがトポロジカルな意味で平面的であることを意味しますか（平面埋め込み、つまり平面グラフです）？

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各頂点に正確に2つの出ているエッジと、バイナリでエンコードされた自然数N、2つの頂点sおよびtがあるようなノードがn個ある有向グラフを考えると、 Nステップ内でsからtへの（必ずしも単純ではない）パスの数を数えたい。 これは＃P-hard問題ですか？または一般的に、この問題の複雑さは何ですか？

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動的グラフの最大フローを計算する高速アルゴリズムを探しています。グラフ所与すなわちG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)とs,t∈Vs,t∈Vs,t\in V我々は最大流量有するFFFにおけるGGGからsssへttt。次に、対応するエッジで追加/削除された新しい/古いノードuuuがグラフを形成しますG1G1G^1。新しく作成されたグラフの最大フローとは何ですか？最大流量の再計算を防ぐ方法はありますか？ 非常に時間/メモリを消費しない前処理を歓迎します。 最も簡単なアイデアは、フローを再計算することです。 別の簡単なアイデアは、これです。以前の最大フロー計算で使用されたすべての拡張パスを保存し、頂点を追加するために、ソースから始まり、vに行き、次に行く単純なパスを見つけることができます（前のステップで更新された容量グラフで）目的地までが、問題があり、このパスは簡単であるべき、私はより良いよりも見つけることができませんでしたO （N ⋅ メートル）のためにこのような場合のために、M = | E | 。（また、それがただ1つのパスである場合、これはO （n + m ）で実行できますが、そうではないことに注意してください。）vvvvvvO(n⋅m)O(n⋅m)O(n\cdot m)m=|E|m=|E|m=|E|O(n+m)O(n+m)O(n+m) また、上記のノードを削除するというアイデアは機能しません。 また、エッジのインクリメンタルアプローチなどの論文を見ましたが、この場合は十分ではないようです。各エッジの以上であり、この場合は適切な拡張ではないようです（フローを再計算するだけです）。また、現在はFord-Fulkerson最大フローアルゴリズムを使用しています。オンラインアルゴリズムに適したオプションがある場合は、それを知っておくと便利です。O(m)O(m)O(m)

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場合最大次数3とのグラフであり、マイナーであるHは、Gは、のトポロジー軽微でH。GGGHHHGGGHHH ウィキペディアは、この結果をディーステルの「グラフ理論」から引用しています。この本の最新バージョンでは、Prop 1.7.4としてリストされています。この本には証拠も引用もない。 これの（元の）証拠で行方は知られていますか？ さらに、が爪のパスまたは下位区分であり、Hのマイナーである場合、GはHのサブグラフであることを証明する参照はありますか？ここでは簡単に言及していますが、参照はありません。GGGHHHGGGHHH

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「スパースグラフ」にはいくつかの競合する概念があります。たとえば、表面埋め込み可能なグラフはスパースと見なすことができます。または、エッジ密度が制限されたグラフ。または、高い胴回りのグラフ。大きな展開を持つグラフ。制限されたツリー幅を持つグラフ。（ランダムグラフのサブフィールド内であっても、スパースと呼ばれるものに関してはわずかにあいまいです。）など。 効率的なグラフアルゴリズムの設計に最も影響を与えた「スパースグラフ」の概念とその理由は何ですか。同様に、「高密度グラフ」の概念は何ですか？（注意：Karpinskiは、密なグラフの1つの標準モデルの近似結果に多大な努力をしてきました。） J. Nesetrilが（P. Ossona de Mendezと一緒に）統合された（漸近的な）フレームワーク内のグラフのスパース性の測定値をキャプチャするプログラムについての講演を見ました。私の質問-はい、多分かなり主観的であり、異なるキャンプを期待しています-は、アルゴリズムでのスパース性の使用に関する多面的な視点をキャッチしたいという欲求によって動機付けられています（そして、問題の私自身の理解のギャップを埋めます）。

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これは、多項式時間硬さの結果に関するRobin Kothariの以前の投稿へのフォローアップ質問として意図されています。 具体的には、おおよそ下限を持つと考えられる問題に対するいくつかの硬度の証明を見ることに興味があり、ワードサイズ（3SUMの場合など） Barab et al。[スプリンガー経由]）。応答が単純化されれば、決定木モデルに問題を残していただければ幸いです。Ω （ n3）Ω（n3）\Omega(n^3) ロビンのポストから、私はジェフ・エリクソンのを知った紙与え下げる5SUM行き（より正確に、彼は示してk個の中-SUMランΩ （nは⌈ K / 2 ⌉）一般的に時間を）。Ω （ n3）Ω（n3）\Omega(n^3)kkkΩ(n⌈k/2⌉)Ω(n⌈k/2⌉）\Omega (n^{\lceil k/2 \rceil}) 計算幾何学またはグラフ理論の問題の立方体の下限を推測するためにそのような縮小を使用して、論文または他の参考文献が存在しますか？

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数週間前にmathoverflowでこの質問をしましたが、返事はありませんでした。 ここで、sidelengthの3Dグリッドによってkkk Iは、グラフ意味G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)とV={1,…,k}3V={1,…,k}3V= \{1,\ldots,k\}^3及び、つまり、ノードは1から kまでの3次元整数座標に配置され、ノードは、正確に1座標ずつ異なる最大6つの他のノードに接続されます。E={((a,b,c),(x,y,z))∣|a−x|+|b−y|+|c−z|=1}E={((a,b,c),(x,y,z))∣|a−x|+|b−y|+|c−z|=1}E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}kkk このグラフの名前は何ですか？3Dグリッドを使用しますが、おそらく3Dメッシュまたは3Dラティスは他の人が慣れているものです。 このグラフのツリー幅またはパス幅は何ですか？これはすでにどこかで公開されていますか？ 私は既に知っている、すなわち、それはより本当に小さいK 2。私にとって、これは、k × kの 2Dグリッドがツリー幅とパス幅kを持っていることを示す標準的な引数が簡単に一般化されないことを示唆しています。tw(G)=(3/4)k2+O(k)tw(G)=(3/4)k2+O(k)tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)k2k2k^2k×kk×kk\times kkkk これを見るために、主にの形式のノードセットを使用してグリッドを「スイープ」するパス分解を考えます。観察| S c | ≤ （3 / 4 ）、K 2 + O （K ）、S 3 / 2 kが最大よう設定されています。間セットS C及びSc={(x,y,z)∣x+y+z=c}Sc={(x,y,z)∣x+y+z=c}S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}|Sc|≤(3/4)k2+O(k)|Sc|≤(3/4)k2+O(k)|S_c| \leq (3/4) k^2 …

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ましょうによると表す属の表面に埋め込むことができるすべてのグラフのセット全ての頂点は、このようなことが外面に位置しています。たとえば、は外部平面グラフのセットです。のグラフのツリー幅は、関数によって上限を設定できますか？k∈Nk∈Nk\in\mathbb{N}GkGkG_kkkkG0G0G_0GkGkG_kkkk 一定のツリー幅は定数の属をも暗示しないため、もう一方の方向は明らかに成り立ちません：を素なコピーの和集合とします。のツリー幅は一定ですが、その属はです。HnHnH_nnnnK3,3K3,3K_{3,3}HnHnH_nnnn

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