効率的なグラフアルゴリズムの設計において、スパース性の最も重要な概念は何ですか？

「スパースグラフ」にはいくつかの競合する概念があります。たとえば、表面埋め込み可能なグラフはスパースと見なすことができます。または、エッジ密度が制限されたグラフ。または、高い胴回りのグラフ。大きな展開を持つグラフ。制限されたツリー幅を持つグラフ。（ランダムグラフのサブフィールド内であっても、スパースと呼ばれるものに関してはわずかにあいまいです。）など。

効率的なグラフアルゴリズムの設計に最も影響を与えた「スパースグラフ」の概念とその理由は何ですか。同様に、「高密度グラフ」の概念は何ですか？（注意：Karpinskiは、密なグラフの1つの標準モデルの近似結果に多大な努力をしてきました。）

J. Nesetrilが（P. Ossona de Mendezと一緒に）統合された（漸近的な）フレームワーク内のグラフのスパース性の測定値をキャプチャするプログラムについての講演を見ました。私の質問-はい、多分かなり主観的であり、異なるキャンプを期待しています-は、アルゴリズムでのスパース性の使用に関する多面的な視点をキャッチしたいという欲求によって動機付けられています（そして、問題の私自身の理解のギャップを埋めます）。

合理的な標準では、n×n×nの3次元グリッドグラフはスパースであると見なされる必要があり、表面埋め込みまたはマイナーを含むほとんどの候補定義は除外されると思います。（ただし、サブリニアツリー幅は可能です。）

私の現在のお気に入りのスパース尺度は縮退です。グラフの縮退は、グラフの頂点のすべての線形順序付けで、順序付けの各頂点を後の頂点から後の方向に向けることによって形成されたグラフの有向非周期的向きの最大アウトディグリーの最小値です。同様に、それは、すべてのサブグラフにおける、サブグラフの最小次数の最大値です。したがって、たとえば、平面グラフのサブグラフには次数が最大5の頂点があるため、平面グラフには縮退5があります。縮退は線形時間で簡単に計算でき、定義から生じる線形順序付けはアルゴリズムで役立ちます。

縮退は、任意のサブグラフのrb毛性、厚さ、最大平均次数など、他の標準的な測定値の一定の要因内にありますが、これらは使いにくいと思います。

スパース性の「良い」概念はたくさんあるように見えますが、モデル理論的なフレーバーを持つスパース性の構造的概念には、何らかの階層があります。これらは効率的なグラフアルゴリズムに強い影響を与えたと思います。

$k$$K_{k+2}$

2010年11月のAnuj Dawarのコースノートでは、除外された未成年者とは比べ物にならないローカルに制限されたツリー幅についても説明しています。有界度はスパースグラフを明確に定義し、そのようなグラフはローカルツリー幅を有界にしていますが、除外された未成年者のセットによって定義することはできません。

有界度の影響は明らかです。これは、有界度グラフ上のグラフ同型写像に対するLuksのアルゴリズムなど、難しい問題を扱いやすくするために示される最初の制限の1つであることがよくあります。未成年者を除外することの影響も、少なくとも制限されたツリー幅を装って明らかです（Sureshが指摘したように）。

マイナーをローカルに除外するという考え方は、ローカルに制限されたツリー幅と除外されたマイナーの両方を一般化するため、階層の「最も一般的な」クラスを形成します。ただし、実際のアルゴリズムでこのプロパティを使用する方法はまだ明確ではありません。未成年者を除外する「扱いやすい」ケースでさえ、必ずしも実用的なアルゴリズムを備えているわけではありません。モデル理論アルゴリズムには大きな定数がたくさんあります。これらのクラスの一部が、長期的には実質的に効率的なアルゴリズムを備えていることを願っています。

また、私の答えを参照してくださいマイナー除外グラフは容易である何を？さらに関連するコメント。

効率的なアルゴリズムの設計に制限されたツリー幅や一般的な二次元性ほど大きな影響を与えたグラフプロパティは考えられません。

グラフは隣接行列と考えることができます-行列のスパース性（たとえば、ゼロエントリの％）にはいくつかの定義があり、それをグラフ自体に戻すことができます。ゼロエントリの％以外に、並べ替え時の行列帯域幅は、グラフのスパース性の優れたプロキシになる可能性があります（帯域幅は縮退に関連しているようです）。