このパスの問題の複雑さは何ですか？

インスタンス： Anがグラフ無向 2つの識別頂点と、および整数。 $G$ $s\neq t$ $k\geq 2$

質問：そこ存在するパスを、例えばせいぜい経路触れることが頂点？（頂点がパス上にあるか、パス上に隣接点がある場合、頂点はパスに接触します。） $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

これは、制約付きサブモジュラー最小化のように聞こえます。残念ながら、制約のセットが効率的なソリューションを認めているかどうかは明らかではありません。

— スレシュヴェンカト

私の答えはおそらく間違っていました！より慎重にチェックした後、ヒューリスティックは単調ではないようです。

A^{*}

$A^*$

— usul

Sureshのコメントに続いて、サブモジュラーコストの最短パスが困難であることを示す「マルチエージェントサブモジュラーコスト関数との組み合わせ問題の近似可能性」という論文を確認する価値があります。硬さを示すアイデアがあるかもしれません。computer.org/csdl/proceedings/focs/2009/3850/00/...

— チャンドラChekuri

この問題は、最長パスに

と

を含む最大

個の頂点を持つキャタピラーサブグラフを見つけることと言い換えることができます。

k

$k$

s

$s$

t

$t$

— オビンナオケチュクウ14

キャタピラサブグラフは、我々が最長パスのすべてのネイバー含まなければならないので、ある意味で最大であることが要求される@Obinna

— SAMM

回答:

この問題は次の場所で調査されました。

Shiri Chechik、Matthew P. Johnson、Merav Parter、David Peleg：接続されていない接続の問題。ESA 2013：301-312。

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

彼らはそれを人里離れた問題と呼んだ。それは確かにNP困難であり、最適化バージョンには定数因子近似がありません。

著者が提供する動機は、情報がパスを介して送信される設定であり、パスのネイバーとノードのみがそれを見ることができます。目標は、露出を最小限にすることです。

— user20655
ソース

編集：この問題の難しさをすでに証明している論文への参照については、以下のuser20655の回答を参照してください。誰かがこの別の証拠を見たい場合に備えて、元の投稿を残しておきます。

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NP-hard問題であるMIN-SATのインスタンスを考えます。これは変数および句。これをパスの問題に還元します。 $X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$ $C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

各 2つの頂点（1つは否定形式、もう1つは非否定形式）と各 1つの頂点があり。さらに、、個の頂点 $x_i$ $c_i$ $m = 2n+|C|$ $m$ $p_1, p_2, \cdots, p_{m}$ パディング用にがあります。

おおよそ最適溶液からパス構築するであろう場所を我々はグラフを構築し、話すに使用して Sと中間ノードとしてです。このパスのコストは、選択したパスが割り当てに変換する場合に満たす sになります。 Sは、のいずれかを介して短切断によってごまかすことができることから最適解を防止するだけであり、S。 $s$ $t$ $x_i$ $\bar{x_i}$ $c_j$ $p_i$ $c_j$

Connectには、どの句にここで表示され、どの句にれる表示されます。変数の割り当てを強制するために、我々は作るダイヤモンド梯子状構造、そして、両方のそれぞれに接続されていると。はと両方に接続されます $x_i$ $c_j$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $c_j$ $\overline{x_i}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $x_{i+1}$ $\overline{x_{i+1}}$ $s$ $x_1$ および両方に接続されていると。最後に、各はすべてのパディング変数接続されます。便利なグラフ描画用のソフトウェアは手元にないので、この構造の（非常に）粗雑に描かれた図を次に示します。 $\overline{x_1}$ $t$ $x_n$ $\overline{x_n}$ $c_i$ $p_j$

Construction of the hard instance

（ここでのクラウドは頂点の大きなセットであり、からこのクラウドまでの各太いエッジは、このセットの各頂点に接続されている表していることに注意してください。） $\{P_i\}$ $c_j$ $c_j$

最小タッチパス問題の最適なソリューションでは、パスにタッチする頂点の数はであり、はMIN-SATインスタンスの最適なソリューションであるという主張です。それの訳は $Q + 2n + 2$ $Q$

パスニーズがで開始するとで端、およびすべてのパディング頂点を収集せずにこれを行うための最善の方法は、から続けることであるとこれまで両方収集せずにといずれかの $s$ $t$ $y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$ $y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $i \in 1, \cdots, n$ （これは直感的です。2回選択した変数から2つのオプションのいずれかを削除すると、両方を保持した場合よりもコストがかからない有効なパスが得られるためです）。
$m+2$ $s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$ $s$ $t$ $\{x_i\}$ $\{\overline{x_i}\}$ $\{c_i\}$ . Since any $s-t$ path that gets any padding must contain at least $s$ , $t$ , some $c_i$ , some $x_i$ and $x_j$ , and all of $\{p\}$ , it has a cost of $\geq m+5$ , so it is suboptimal. Thus, the optimal solution does not touch any of the padding vertices, so the path must proceed as outlined in part (1).
Call the variable assignments corresponding to vertices that the path goes through (other than $s$ and $t$ ) the induced assignment of the path. A vertex $c_j$ is touched iff the induced assignment of the path would satisfy clause $c_j$ . Conversely, an assignment of the variables that satisfies $Q$ clauses can be transformed into a path that touches exactly $Q$ of the $c_j$ s by looking at the path that induces said assignment.
Every $x_i$ and $\overline{x_i}$ touches this path, as well as both $s$ and $t$ . Together, these contribute $2n + 2$ to the total cost. The rest comes from the $c_i$ that are touched, at a cost of $Q$ in the optimal solution.

Thus, we can check if the MIN-SAT instance has a solution of cost $\leq k$ if the graph we construct has a cost of $\leq k + 2n + 2$ in an instance of your path problem. In particular, we can do this via a Karp-reduction. Thus, the problem as stated is NP-hard.

— Yonatan N
ソース