サイドレングスkの3Dグリッド（メッシュまたは格子）のパス幅は？

数週間前にmathoverflowでこの質問をしましたが、返事はありませんでした。

ここで、sidelengthの3Dグリッドによって $k$ Iは、グラフ意味 $G=(V,E)$ と $V= \{1,\ldots,k\}^3$ 及び、つまり、ノードは1からまでの3次元整数座標に配置され、ノードは、正確に1座標ずつ異なる最大6つの他のノードに接続されます。 $E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$ $k$

このグラフの名前は何ですか？3Dグリッドを使用しますが、おそらく3Dメッシュまたは3Dラティスは他の人が慣れているものです。

このグラフのツリー幅またはパス幅は何ですか？これはすでにどこかで公開されていますか？

私は既に知っている、すなわち、それはより本当に小さい。私にとって、これは、 2Dグリッドがツリー幅とパス幅を持っていることを示す標準的な引数が簡単に一般化されないことを示唆しています。 $tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$ $k^2$ $k\times k$ $k$

これを見るために、主にの形式のノードセットを使用してグリッドを「スイープ」するパス分解を考えます。観察、最大よう設定されています。間セット及び $S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$ $|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$ $S_{3/2 k}$ $S_c$ は線でスイープすることで作成され、セパレーターとして追加ノードが必要です。より正確には、セットを使用 $S_{c+1}$ $O(k)$ $S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$ パス分解として。 $G$

を示す証明のアイデアもありますが、まだ完成していません。 $tw(G) = \Omega(k^2)$

— リコ・ジェイコブ
ソース

のための

。何か不足していますか？

| S_{c} | = Ω (k^{2})

$|S_c| = \Omega(k^2)$

c = ⌊ k / 2 ⌋

$c=\lfloor k/2 \rfloor$

— サリエルハー

承知しました。ただし、

は上限でのみ使用されます。私が本当に気にするのは下限です。

S_{c}

$S_c$

— リコジェイコブ

あなたはこの論文に興味がある可能性があり：springerlink.com/content/3nmjlc1g5emx9vpkを。あなたは、グラフの「キュー番号」を計算することができます場合は、下のように述べ定理1使用して、そのパス幅にバインド与えられるでしょう

任意のグラフの

。

q n (G) \leq p w (G)

$\mathsf{qn}(G) \leq \mathsf{pw}(G)$

G

$G$

— マチューシャペル

ああ。そうですか。あなたは意味

。

(3 / 4) k^{2}

$(3/4)k^2$

— サリエルハーペレ

@Sariel：同じ混乱を避けるために質問を編集しました。

— 伊藤剛

回答:

のパス幅は、いくつかの既知の結果の結果として決定できます。フィッツジェラルド[2]の帯域幅ことが示されたある $P^3_k$ $P^3_k$ 。Harper [3]は、グラフが条件を満たす場合、そのパス幅と帯域幅が同じになるという条件を示しました。Moghadam [4,5]およびBollobásand Leader [1]は、多次元グリッドがHarperの条件を満たすことを個別に示しました。これらの結果は、pathwidthことを意味また、ある $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$ $P^3_k$ 。 $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

Hsien-Chihが言及した論文では、ヨシオが説明したようにFitzGeraldの結果を一般化しました。ツリー幅は不明です。 $P^3_k$

参考までに、英語版の論文をarXivに提出しました。

B.ボロバースとI.リーダー、圧縮と等周不等式、J。コンビン。理論Ser。A 56（1991）47-62。
CH FitzGerald、グラフの頂点の最適なインデックス付け、数学。比較 28（1974）、825-831。
LH Harper、最適な番号付けとグラフ上の等周問題、J。Combin。理論1（1966）385-393。
HS Moghadam、圧縮演算子、パスの積の帯域幅問題の解決策、博士号論文、カリフォルニア大学リバーサイド校（1983）。 $n$
HS Moghadam、パスの積の帯域幅、Congr。数字。173（2005）3-15。 $n$

— 大立洋太
ソース

（！と紙）、また親切に共有あなたの新しい結果をありがとう:) TCS SEへの歓迎

— シェンロン-志チャン張顯之

@ Hsien-Chih：あなたは私たちの結果を共有することに決めました:-)ありがとう。実際、arXivの初心者でもあります。

— 太田洋太

3次元グリッドのpathwidthは、紙に良平須田、ヨタOtachiと浩一山崎によって研究された3次元グリッドのPathwidth、電子情報通信学会技術。レポート、2009年。

それは論文の要約で主張されている

この論文では、頂点境界幅を決定することにより、閉じた形の3次元グリッドのパス幅を与えます。

ただし、正確な限界は要約に記載されていないため、現在、論文全体にアクセスすることはできません。著者が結果を共有したい場合は、著者に個人的に連絡し、この質問に対する回答を自分で投稿することができます。

— Hsien-Chih Chang張顯之
ソース

論文は日本語で書かれていることに注意してください。

— 伊藤剛

@剛：はい、私たちはあなたの助けが必要な場合があります:)

— シェンチーチャン張顯之

P_{ℓ} \times P_{m} \times P_{n}

$P_{\ell}\times P_{m}\times P_{n}$

ℓ m

$\ell m$

ℓ + m \leq n + 2

$\ell + m \leq n + 2$

ℓ m - ⌈ (\frac{ℓ + m - n - 1}{2})^{2} ⌉

$\ell m - \lceil (\frac{\ell+m-n-1}{2})^2 \rceil$

P_{k}

$P_k$ is a path with

k

$k$ vertices, and

ℓ \leq m \leq n

$\ell \leq m \leq n$ .

— Yoshio Okamoto

@Yoshio：これは答えに値します。

p w (P_{k}^{3}) = \frac{3}{4} k^{2} + O (k)

$\mathsf{pw}(P^3_k) = \frac{3}{4}k^2 + O(k)$ 、質問に答えます。

— Hsien-Chih Chang 張顯之

ありがとう。自分でその参照を見つけられなくても、気分を悪くする必要はないようです。私は詳細に興味があります。

— リコジェイコブ