Cai-Furer-Immermanガジェットの自己同型

Weisfeiler-Lehman（WL）法によるグラフ同型の有名な反例では、この論文でCai、Furer、Immerman が次のガジェットを作成しました。彼らは、グラフ構築によって与えられるが$X_k = (V_k, E_k)$

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

論文の補題の1つ（補題3.1 6ページ）では、頂点とを色iで着色すると、| Aut（X_k）| = 2 ^ {k-1}（自己同型によって色を保存する必要があります）各自己同型は、偶数カーディナリティの\ {1,2、\ ldots、k \}のサブセットSの各iのa_iとb_iの交換に対応します。彼らは、証拠は即時であると言います。しかし、k = 2の場合でも、どのように見えるかはわかりません。X_2 \（A_1、M _ {\ {1,2 \}}） エッジであるが、我々はインターチェンジ同型ている場合A_1、B_1とA_2、B_2を$a_i$$b_i$$i$$|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$$a_i$$b_i$$i$$S$$\{1,2,\ldots, k\}$$k= 2$$X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$$a_1, b_1$$a_2, b_2$上記のエッジは、エッジではない（b_1、m _ {\ {1,2 \}}）に変換され$(b_1, m_{\{1,2\}})$ます。したがって、それは自己同型であってはなりません。

私の誤解を理解したいと思います。

すべての接続されているemptysetありません。自己同型を得るには、偶数カーディナリティーのサブセットを選択し、各についてをと交換し、中央のセットを調整します。例では、グラフは$\emptyset$$b$$T\subseteq \{1,...,k\}$$a_i$$b_i$$i\in T$

それでもあなたの例であればあなたは何もする必要はありませんし、場合 同型を交換することにより与えられ、と、してし、と。$T=\emptyset$$T=\{1,2\}$$a_1$$b_1$$a_2$$b_2$$\{1,2\}$$\emptyset$

ここで、一般的なケースでは、常に中央の頂点を調整する方法があることを示す必要があります。はカーディナリティーがあることもわかっています。だから、聞かせて。私達はちょうどそのような同型があれば存在することを示す必要があるそうでない場合、我々はの構成に適用することができますので、分割に対応した同型に大きさのサブセット。したがって、と仮定します。次に、自己同型はを、 を、それぞれの中間頂点を$T$$|T|=2r$$|T|=2$$r$$T$$r$$2$$T=\{i,j\}$$a_i$$b_i$$a_j$$b_j$$S$$S\cap\{i,j\}=\emptyset$中央頂点を持つ（これは例で見ることができる）、そして各サブセットはように、このようなサブセットとその（これは見ることができます$S\cup \{i,j\}$$S$$S\cap \{i,j\}=\{i\}$$S\cap \{i,j\}= \{j\}$ k = 3で）。このスワップ処理は、インデックス用のため同型であることを通知 P ≠ { I 、J }の間のエッジ関係 P、 BのP及びこれらスワップ頂点は完全に保存され、そして明確間のエッジ関係 I、J、$k=3$$p\neq \{i,j\}$$a_p$$b_p$i、b jは適切に調整されています。$a_i,a_j,b_i,b_j$

最後に、これらが唯一の可能な自己同型であることを確認するには、各a i、b iが独自の色で着色されていることに注意してください。したがって、それらを別のペアa j、b jにマッピングすることはできません。また、いくつかのスワップせずに真ん中の頂点に真ん中の頂点をマップ同型持つことは不可能であるという通知Aを私はいくつかとのb jは。$a_i,b_i$$a_j,b_j$$a_i$$b_j$$\square$