グラフ内のパスのカウントの複雑さ

各頂点に正確に2つの出ているエッジと、バイナリでエンコードされた自然数N、2つの頂点sおよびtがあるようなノードがn個ある有向グラフを考えると、

Nステップ内でsからtへの（必ずしも単純ではない）パスの数を数えたい。

これは＃P-hard問題ですか？または一般的に、この問題の複雑さは何ですか？

cc.complexity-theory graph-theory counting-complexity

— まおまお
ソース

マトリックスの電源を入れてみましたか？

— ユヴァルフィルマス

はい、しかし、私が見る限り、複雑さはまだ知られていません。

— maomao

散歩はtで終了する必要がありますか、それとも散歩のある時点でtを訪れるだけですか？

— タイソンウィリアムズ

tで終わる必要があります。

— maomao

@Geekster

3つの頂点の完全な有向グラフの場合、カウントはN番目のフィボナッチ数であり、Dがグラフの答えで議論したように、そのサイズはNで指数関数的です。

s \neq t

$s \ne t$

— タイソンウィリアムズ

回答:

パスの出力数であってもよい（選択した任意にした後、選択し最大数のエンドポイントである頂点としてから歩く）必要 $\Omega(2^N/n)$ $s$ $t$ $2^N$ $s$ $\Omega(N)$ 明示的に書き留めるビット。これは入力サイズにおいて指数関数的です。一方、行列のパワーを与えるアプローチには、入力サイズと出力サイズの合計に複雑度多項式があります。そのため、指数サイズの出力を持ち、出力サイズの時間多項式で決定的に解決される可能性のあるカウント問題のクラスにそれを配置するようです。 NEXPに類似した#EXPではありません）。

— デビッド・エップスタイン
ソース

おかげで、私はまだこの問題があるかどうかを知りたい

-hard。

♯ P

$\sharp P$

— maomao

Davidの反復二乗アプローチで大きな数を避けるために、すべての計算を素数pでモジュロできます。次に、アルゴリズム全体が

時間多項式で実行され

。問題が多項式時間の多対多の簡約の下で＃P-hardであった場合、

アルゴリズムはP =

を暗示しますが、これは信じられません。

n + \log N + \log p

$n + \log N + \log p$

p = 2

$p=2$

\oplus

$\oplus$

— ホルガー

@Holgerは、Permanentについても同様の議論をしませんか？つまり、Permanentが＃P-hardの場合、Perm mod 2は

hardになります。しかし、Perm mod 2 = PにあるDet mod 2

\oplus

$\oplus$

— SamiD

@SamiD：厳密に言えば、あなたの議論は、パーマネントがthe約的な削減のもとでおそらく＃P-hardではないことを示しています。既知の証明はチューリング縮約を使用します。

— ホルガー

@Holger同意します。申し訳ありませんが、私はpar約的な多対一部分を見逃していた。したがって、マトリックスの電力供給の問題は、チューリング削減では＃P-hardになります。

— SamiD

ビット見つける与えられたグラフの隣接マトリックスが問題に帰着であるで最初に定義[ABKPM]有し下部同じ論文で確立界を。しかし、逆方向の減少が成り立つかどうか、すなわち、 $A^N[s,t]$ $A$ $\mathsf{BitSLP}$ $\#\mathsf{P}$ $\mathsf{BitSLP}$ からマトリックスの電力供給問題まで、が維持される不明です。

$\mathsf{BitSLP}$ $\mathsf{CH} \subseteq \mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$

— サミD
ソース

問題は＃P-completeです。カウントバージョンの＃P-completeであるグラフ（Garey＆JohnsonのND31）で最短パスをカウントする問題を見てください。コメントを注意深く読んでください。これは、長さのパスに対する答えを与えます $\leq N$ 。長さのパスの答えを取得するには $=N$ 、最短経路問題を呼び出す $\leq N$ そして $\leq N-1$ 、前者から後者を減算します。つまり、減算減算を実行します。

#HAMILTONIAN PATHS / CIRCUITSから#SHORTEST PATHSへの削減は3正規グラフでも機能するので、＃P完全性の結果は、次数の有向グラフの制限でも機能します $\leq 2$ 。

— ミキ・ヘルマン
ソース

元の問題では、パスが単純である必要はないため、答えが正しいとは思いません。

— maomao

すべての#P問題に入力サイズの指数関数的解があり、これが二重指数関数的である場合、どうすれば＃P-completeになりますか？

— デビッドエップシュタイン

GareyとJohsonの本の文脈で「ND31」とはどういう意味ですか？

— タイソンウィリアムズ