遺伝的であるが、相加的ではないNP完全グラフ特性？

グラフプロパティは、頂点の削除に関して閉じられている場合、遺伝的と呼ばれます（つまり、すべての誘導されたサブグラフがプロパティを継承します）。グラフのプロパティは、互いに素なユニオンの取得に関して閉じている場合、加算的と呼ばれます。

遺伝性のプロパティを見つけることは難しくありませんが、相加的ではありません。2つの簡単な例：

$\;\;\;$ （1）グラフが完成しました。

$\;\;\;$ （2）グラフには2つの頂点独立サイクルが含まれていません。

これらの場合、プロパティが誘導されたサブグラフに継承されることは明らかですが、プロパティを持つ2つの互いに素なグラフを取ると、それらの結合はそれを保持しない場合があります。

上記の例は両方とも、ポリタイムで決定可能なプロパティです（ただし、（2）の場合はやや簡単です）。より難しいプロパティが必要な場合は、（2）のパターンに従って作成することもできますが、サイクルをより複雑なグラフタイプに置き換えます。ただし、などの標準的な複雑さの仮定の下では、問題がさえ残っていない状況に簡単に陥ることがあります。内に留まる例を見つけることはささいなことではないように見えますが、それでも困難です。 $NP$ $NP\neq coNP$ $NP$

質問：遺伝的であるが加算的ではない（できれば自然な）完全なグラフプロパティを知っていますか？ $NP$

— アンドラス・ファラゴ
ソース

これで、「自然な」特性について多くの質問をしました。これらの質問のいくつかの動機が何であるかを理解することは役に立つかもしれません。

— スレシュヴェンカト

@Suresh人為的で人為的な問題とは対照的に、問題を自然にするものをよりよく理解したいと思います。自然の概念は、理論と現実の重要な架け橋であり、探究する価値があると思います。興味深いのは、どの問題が「自然」であるかについての正式な定義はありませんが、人々は通常、特定の問題が自然かどうかについて明確なコンセンサスを持っているということです。おそらく、私はこの問題について別の質問を投稿して、他の人がどのようにそれを見るかについてもっと調べるでしょう。

— アンドラスファラゴ14

回答:

各セットがクリークを誘発するようにセットの頂点のパーティションが存在するかどうかを尋ねるクリークカバー問題は、望ましい特性を持っていると思います。 $k$ $k$

明らかに、誘導サブグラフを取得しても、そのようなパーティションの最小サイズを増やすことはできません。一方、2つのグラフの互いに素な結合を取る場合、パーティションの結合をそれぞれのクリークに入れる必要があります。

— ビニシウス・ドス・サントス
ソース

同様に、頂点のカバー/最大

のサイズのセットも同様に機能します。

k

$k$

— RB 14

しかし、あなたが言及した問題は両方とも、固定

多項式ですよね？

を入力の一部にすることを強制すると、質問の意味で明確に定義されたプロパティではなくなります。

k

$k$

k

$k$

— ビニシウスドスサントス14

-cliqueカバープロパティは、回答に記載されているように、ではない

。グラフにはクリークへの

パーティションがありますが、そのサブグラフはこのプロパティを継承しません。これは、定数

と変数

両方に当てはまります。

k

$k$

h e r e d i t a r y

$hereditary$

k

$k$

k

$k$

— アンドラスファラゴ14

これは、空のパーティションを許可することで簡単に解決できます（元の問題で許可されない場合は、この修正版を検討してください）。「サイズ

クリークカバー」の代わりに、「最大で

のサイズ」を検討します。

k

$k$

k

$k$

— ヴィニシウス・ドス・サントス

はい、私は、この修正により、今では正しい答えだと思います！

を修正する場合、プロパティは「Gの補色は3色可能ですか？」と同等です。（補数は最大3色で着色可能です）。これは遺伝的であり、グラフ3の彩色可能性の既知のNP完全性により、実際はNP完全です。

と

両方がそれぞれ3色の補数を持っている場合でも、それらの互いに素な結合の補数は3色のままにならない可能性があるため（6色も必要になるため）、プロパティは非加算的です。

k = 3

$k=3$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

— アンドラスファラゴ14

この問題を考慮してください

sewtsによって作成された誘導グラフがプロパティおよび示すように、その頂点セットを2つの互いに素なセットに分割できるかどうかを決定するグラフがNP- completeであるとします。 $G$ $P$ $Q$

プロパティが遺伝的であっても、NPは完全なままです。

グラフの上記の問題の解決策は、誘導されたサブグラフの解決策にもなります。しかし、Gと同じファミリーのグラフを結合すると、そのソリューションを使用して解決できない場合があります。

たとえば、一般的なグラフを互いに素な単位間隔グラフに分割することはNP完全ですが、すべての可能なエッジを結合する（グラフを完全にする）ことで問題を簡単に解決できます。

— ディビャヤン
ソース

質問は、相加的でないプロパティを探すことに注意してください。あなたの例では、両方のプロパティを持つ2つのグラフが存在する必要があることを保証するものではありませんが、それらの互いに素な結合はそうではありません。

— アンドラスファラゴ14年

グラフのサイクルカバー数をサイクルの最小数として定義し、（i）各はサブセットのサイクルグラフ、（ii）それぞれエッジはいくつかの存在します。私は次のことを推測します： $G = (V,E)$ $C_1,\ldots,C_m$ $C_i$ $V$ $E$ $C_i$

（1）のための、どうかを決定するためにNP完全であり、最大でサイクルカバー数を有する、 $k \geq 3$ $G$ $k$

$k = 2$

（1）が真である場合、遺伝的であるが明らかに付加的ではないプロパティを提供するため、質問に答える必要があります。

（注を追加：推測（2）は、同名であるにも関わらず、SzekeresとSeymourによる「ダブルサイクルカバー推測」とは異なります）。

— Super8
ソース

このプロパティは遺伝性ではありません。頂点を削除すると、すべてのエッジをカバーするために必要なサイクル数が増加する場合があります。これは、削除された頂点によって、多くのエッジをカバーするために使用されたサイクルがなくなるためです。最も単純な例は、グラフ全体が単なるサイクルである場合です。頂点が削除されると、サイクルが残っていないため、サイクルカバーが不可能になります。

— アンドラスファラゴ14年

G

$G$

G

$G$

v

$v$

v

$v$

k

$k$