エキスパンダーグラフに長い誘導パスが存在する

レッツは、グラフの家族と言うた長いパスを誘導している場合は定数など、すべてのグラフというで上の誘導パスが含まれています $\mathcal{F}$ $\epsilon > 0$ $G$ $\mathcal{F}$ $|V(G)|^{\epsilon}$ 頂点。長い誘導経路の存在を保証するグラフファミリのプロパティに興味があります。特に、現在、一定次数のエキスパンダーが長い誘導経路を持っているのではないかと考えています。これが私が知っていることです。

一定の平均次数を持つランダムグラフ（Erdős–Rényiモデル）では、確率が高く（線形サイズでも）誘導されたパスがあります。たとえば、Suenの記事を参照してください。
一意の隣接エキスパンダーグラフ（AlonとCopalboで定義）には、大きな誘導ツリーがあります。実際、このようなグラフでは、最大の誘導ツリーは大きくなります。

これらの2つの事実を考えると、同程度のエキスパンダーには長い誘導経路があると予想されます。しかし、具体的な結果を見つけることができませんでした。洞察は大歓迎です。

graph-theory expanders

— バート・ヤンセン
ソース

境界次数グラフに一定の拡張と周長の両方の特性がある場合、答えは正になります。引数は次のようになります。頂点から開始し、ステップで、各ステップが前のステップに戻らないステップの中からランダムに選択されるウォークを行います。（したがって、グラフが正則であれば、各ステップでランダムな選択肢があります。） $\Omega( \log n)$ $n^\epsilon$ $d$ $d-1$

今私はすべてのために、それを主張および Iは、ステップを見れば、及び歩行のは、ステップ頂点の間にエッジが存在する確率とステップにおいて頂点である。次に、が十分に小さく選択された場合、結合境界は、ウォークが確率パスを誘導することを示します。 $i$ $j$ $i$ $j$ $i$ $j$ $n^{-\Omega(1)}$ $\epsilon$ $1-o(1)$

もしが周囲よりも小さい場合、と間のエッジの確率はゼロになります。もし、次に、グラフの拡大がエッジの存在があると主張するのに十分であるべきであるの確率で発生。固定された開始頂点のために、これはなどの衝突確率を有します $|i-j|$ $i$ $j$ $j> i+ \Omega(\log n)$ $(i,j)$ $n^{-\Omega(1)}$ $v$ 場合、胴回りに等しいステップ数後の歩行の分布がサイズのセット全体で均一であるためです。 $n^{\Omega(1)}$ $n^{-\Omega(1)}$ $n^{-\Omega(1)}$ $O(1)$ $v$ $n^{-\Omega(1)}$

— ルカ・トレビサン
ソース

実際には、グラフに周長があることだけを使用しているようです

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$ そして、すべての頂点は次数、少なくとも3を有し、かつ拡張は本当に議論に来ていないこと

— ルカ・トレビーザン