「外界属」グラフのツリー幅は一定ですか？

ましょうによると表す属の表面に埋め込むことができるすべてのグラフのセット全ての頂点は、このようなことが外面に位置しています。たとえば、は外部平面グラフのセットです。のグラフのツリー幅は、関数によって上限を設定できますか？$k\in\mathbb{N}$$G_k$$k$$G_0$$G_k$$k$

一定のツリー幅は定数の属をも暗示しないため、もう一方の方向は明らかに成り立ちません：を素なコピーの和集合とします。のツリー幅は一定ですが、その属はです。$H_n$$n$$K_{3,3}$$H_n$$n$

はい。

外面のすべての頂点に接続された外面の中央に頂点を追加します。これは属を変更せず、ツリー幅を減少させません。これで、グラフには新しい頂点をルートとする非常に浅い幅優先の検索ツリーがあります（すべてが隣接しています）。

二重エッジが幅優先探索ツリーのエッジから分離している二重グラフのスパニングツリーを形成します。次に、どちらのツリーにも属さないO（genus）エッジのセットがあります。これらの各エッジは、幅優先探索ツリーのパスとともに短いサイクル（三角形）を誘発し、これらのサイクルに沿ってサーフェスを切断すると、平面サーフェスが生成されます（私の論文「トポロジカルに埋め込まれたグラフの動的ジェネレータ」を参照）。つまり、G 'がO（genus）カットエッジの端点ではない頂点によって誘導される入力グラフのサブグラフである場合、G'は平面であり、その頂点はそのO（genus）面で覆われます。平面埋め込み（カットサイクルが元の外側の面をカットする面）。

ただし、すべての頂点がk個の面に属する平面グラフでは、別のO（k）エッジ（面のスパニングツリー）を削除して、外側平面グラフを取得できます。したがって、G 'のツリー幅はO（genus）です。この幅でG 'のツリー分解を形成し、次にカットサイクルエッジの終点である頂点を各バッグに追加すると、結果はツリー幅O（genus）の元の入力グラフのツリー分解になります。

これはすでに文献のどこかにあるに違いないと思われますが、どこで、いくつかのクイック検索がこの正確な結果の明示的なステートメントを見つけることに成功していません。しかし、より一般的な記述は私の別の論文にあります。「マイナー閉グラフファミリの直径とツリー幅」では、有界直径の有界グラフが有界ツリー幅を持っていることをとりわけ証明します。この場合（外面内に余分な頂点を追加することにより）、直径は最大で2になります。