タグ付けされた質問 「graph-theory」

グラフ理論は、オブジェクト間のペアワイズ関係をモデル化するために使用される数学的構造であるグラフの研究です。

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樹木分解の典型的な硬さ？
最悪の場合、ツリーの分解は困難ですが、貪欲な方法は、小さな実生活のネットワークでは最適に近いようです。 あるクラスのグラフの「典型的な」インスタンスのツリー分解の困難さについて何か知られていますか？ ツリー分解のための貪欲な方法がひどく機能するグラフのファミリーの例はありますか？
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接続されているすべてのサブグラフのカウントの複雑さ
Gを接続グラフにします。 Gが次のタイプの場合、接続されているすべてのサブグラフをカウントする複雑さは何ですか？ Gは一般的です。 Gは平面です。 Gは二部です。 私は構造を気にしません...または、接続されているすべてのサブグラフを数えるだけです！また、Gに正確にk個のノードを持つすべての接続されたサブグラフをカウントする複雑さにも興味があります。 論文や本へのポインタも歓迎します！
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爪とパスへの立方体グラフのエッジ分割
繰り返しますが、先ほどの私の質問に動機付けられた、私が知りたがっている複雑なエッジ分割問題です。 入力： 3次グラフG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E) 質問：のパーティションがありにE 1、E 2、... 、E sのそれぞれによって誘導された部分グラフように、Eは、私は（つまり、爪のいずれかであるK 1 、3、しばしばスターと呼ばれる）、または3 -path （つまりP 4）？EEEE1,E2,…,EsE1,E2,…,EsE_1, E_2, \ldots, E_sEiEiE_iK1,3K1,3K_{1,3}333P4P4P_4 ある日、この問題がNP完全であることが証明された論文を見たと思いますが、それを見つけることができず、その結果が3次グラフに適用されたかどうか覚えていません。関連する問題として、2部グラフを爪にエッジ分割することはNP完全であることを認識しています（Dyer and Friezeを参照）。誰かが私が説明する問題、または何か関連するもの（つまり、別のグラフクラスの同じ問題、それから立方体グラフに還元しようとすることができる）の参照を持っていますか？
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変化する無向グラフのコンポーネントを追跡するオンラインアルゴリズムはありますか？
問題 時間の経過とともに変化する無向グラフ（マルチエッジ）があり、ノードとエッジが挿入および削除される場合があります。グラフを変更するたびに、このグラフの接続コンポーネントを更新する必要があります。 プロパティ 追加のプロパティは、2つのコンポーネントが再接続されないことです。明らかに、グラフは任意の量のサイクルを持つことができます（そうでなければ、解は簡単になります）。エッジノードが含まれていない場合、そのノードは採用されません。ただし、、それが可能に変える。eeennnn∈en∈en \in en∉en∉en \notin e アプローチ 私はこれまでに2つの可能なアプローチを持っていますが、あなたが見るようにそれらは恐ろしいです： 遅い状態なし 毎回、変更された要素からグラフを検索（dfs / bfs）できます。これはスペースを節約しますが、変更ごとにO（n + m）があるため低速です。 ステートフルfast（-er）（？）アプローチ 各ノードのすべての可能なパスをすべての可能なノードに保存できますが、正しく表示された場合、O（n ^ 4）のメモリが必要になります。しかし、ランタイムの改善がどのようになっているのかわかりません（1つでもあれば、同じコンポーネント内のすべてのノードの情報を最新に保つ必要があるため）。 質問 その問題について、またはおそらく構築できるいくつかのアルゴリズムについて、どのように指針を持っていますか？ 注意 ランタイム/メモリの大幅な改善があれば、2つのコンポーネントが1つであると時々言う非最適なソリューションで生きることができますが、もちろん最適なソリューションを好むでしょう。
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グラフラプラシアン（逆）共分散による多変量ガウスからのサンプリング
たとえば、Koutis-Miller-Peng（Spielman＆Tengの研究に基づく）から、非負のエッジ重みを持つスパースグラフのグラフラプラシアン行列である行列Aの線形システムAx=bAx=bA x = bを非常に迅速に解くことができることがわかります。 。AAA ここで（最初の質問）これらのグラフラプラシアン行列 1つをAAA共分散として使用するか、（2番目の質問）平均ゼロの多変量正規分布の逆共分散行列または。これらの各ケースについて、2つの質問があります。N(0,A)N(0,A)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A)N(0,A−1)N(0,A−1)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A^{-1}) A.この分布からどのくらい効率的にサンプルを抽出できますか？（通常、サンプルを描画するには、コレスキー分解を計算し、標準法線描画してから、としてサンプルを計算します）。A=LLTA=LLTA = LL^Ty∼N(0,I)y∼N(0,I)y \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, I)x=L−1yx=L−1yx = L^{-1} y B.の行列式をどれだけ効率的に計算できますか？AAA これらは両方ともコレスキー分解があれば簡単に解決できることに注意してください。しかし、上記で参照した手法を使用しない標準スパースコレスキーアルゴリズムを使用するよりも効率的にを抽出する方法はすぐにはわかりません。動作しますが、これはまばらだが高ツリー幅のグラフでは立方体の複雑さを持ちます。LLL
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結果
証明の試みの一部があります。証明の試みは、 -complete problem 3-REGULAR VERTEX COVERからSATへのKarp削減で構成されています。 ⊕ P ⊕⊕P⊆NP⊕P⊆NP\oplus \mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}⊕P⊕P\oplus \mathbf{P}⊕⊕\oplus 3次グラフ与えられた場合、簡約により、次の両方の特性を持つCNF式が出力されます。FGGGFFF FFFは、最大で割り当てがあります。111 FFFの頂点カバーの数が奇数である場合にのみ、は充足可能です。GGG ご質問 の結果はどれですか？私がすでに認識している結果は次のとおりです。は、両側ランダム化還元によって還元できます。言い換えれば、（を示すTodaの定理を使用）、を置き換えるだけ。が多項式階層のあるレベルに含まれていることが示されているかどうかはわかりません。もしそうであれば、さらなる結果として、P H N P P H ⊆ B P P N P P H ⊆ B P P ⊕ P ⊕ P N P B P P N P I P H⊕P⊆NP⊕P⊆NP\oplus \mathbf{P} …
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ラベル付きDAGに対するディルワースの定理の一般化
antichainにおけるDAG サブセットであるA ⊆ V即ち、全く存在しない、ペアワイズ到達不能な頂点V ≠ V ' ∈ようにvがから到達可能であるV 'におけるE。ディルワースの定理半順序理論的には、DAGは、サイズのないantichain持っていない場合はすることが知られているのk ∈ Nを、それはせいぜいの労働組合に分解することができるのk - 1つのばらばらチェーン、すなわち、有向パス。(V,E)(V,E)(V, E)A⊆VA⊆VA \subseteq Vv≠v′∈Av≠v′∈Av \neq v' \in Avvvv′v′v'EEEk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}k−1k−1k-1 vvvλ(v)λ(v)\lambda(v)ΣΣ\SigmaA⊆VA⊆VA \subseteq VΣΣ\SigmaAAAmina∈Σ|{v∈A∣λ(v)=a}|mina∈Σ|{v∈A∣λ(v)=a}|\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}| k∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}、その構造について何を想定できますか？特別な方法で分解できますか？\ Sigma = \ {a、b \}の場合にはすでに困惑していますΣ={a,b}Σ={a,b}\Sigma = \{a, b\}が、一般的な有限ラベルセットの場合にも興味があります。 これをΣ={a,b}Σ={a,b}\Sigma = \{a, b\}で視覚化するには、GGGにラベルサイズkkkのアンチチェーンがないということは、少なくともkkk頂点aaaおよびkkk頂点bを含むアンチチェーンがないことを意味しbbbます。任意の大規模なアンチチェーンが存在する可能性がありますが、それらには最大でk-1個の例外までaaa要素またはbbb要素のみを含める必要があります。大きなアンチチェーンを禁止すると、DAGがaラベルの付いた頂点の幅が広い部分とbの幅が大きい部分の間で本質的に「交互」になるように強制する必要があるようです。k−1k−1k-1aaabbbラベル付けされた頂点、しかし私はこの直観を形式化することができなかった （もちろん、適切な構造的特性評価は、DAGの形状に加えて頂点のラベルについても説明する必要があります。なぜなら、すでにk≥1k≥1k …
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ソースとシンクに関する最小等価ダイグラフ
ソースSとシンクTを持つDAG（有向非巡回グラフ）与えられます。ソースSとシンクTを使用して、次のような最小数のエッジを持つDAG D ′を見つけます。DDDSSSTTTD′D′D'SSSTTT 全てのペアのためからパスがUにVにおけるDは、場合とから経路が存在する場合にのみ、UのVにおけるDは'。u∈S,v∈Tu∈S,v∈Tu \in S, v \in TuuuvvvDDDuuuvvvD′D′D' このアプリケーションの1つは、DAGによってセットファミリを表すことです。このような表現の場合、各ソースはユニバースの変数であり、各シンクはセットファミリのセットであり、uを表す頂点から頂点を表す頂点までのパスがある場合にのみ、要素uはセットSにありますSを設定します この問題はよく知られていますか？この問題の多項式アルゴリズムはありますか？
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頂点カバーのカウント削減とサイクルカバーのカウント削減に関する混乱
これは私を混乱させます。 カウントの簡単なケースの1つは、決定問題がにあり、解決策がない場合です。PPP 講義（等価的有向グラフサイクルカバーの数を数えて）二部グラフに完全マッチングの数をカウントするのに問題があることを示している -complete。#P#P\#P サイズ頂点カバーのカウントから 、ガジェットを使用した有向グラフのサイクルカバーのカウントまで削減できます。kkk 定理27.1 適切なサイクルカバーの数は、（k ！）サイズkのGの頂点カバーの数の2倍です。HHH(k!)2(k!)2(k!)^2GGGkkk ガジェットを使用すると、「良い」サイクルのみが残ります。 講義の私の理解では、ということであるサイズの頂点被覆持っていませんkは変換有向グラフ場合に限っGは、「 サイクルカバーを持っていません。G 'にサイクルカバーがあるかどうかの確認は、多項式時間で行うことができます。これは、決定問題を解の発見に変換できるため、P = N Pを意味します。GGGkkkG′G′G'G′G′G'P=NPP=NPP=NP 私は何を誤解していますか？ #P#P\#P PPP P≠NPP≠NPP \ne NPNPNPNP(0,1)(0,1)(0,1)0↦00↦00 \mapsto 0 関連するMOの質問を編集 追加しました Markus Bläser 悪いサイクルはまだ「そこ」にあると指摘しますが、それらの重みの合計は消えます。 ウィジェットの不良サイクルの重みがゼロであるように見えます。 148ページ（pdfの11）から： これらの4ノードウィジェットに対応する部分行列Aを含む完全な隣接行列Bは、Hの良好なサイクルカバーごとに1、悪いサイクルカバーごとに0をカウントします。 別の質問： kkk CCでは、すべての頂点が正確に1サイクルである必要があります。
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禁止された誘導巡回部分グラフによって定義されたグラフクラスの多項式問題
MOからクロスポスト。 ましょ環状のすべてが禁止誘起部分グラフ、（少なくとも1つのサイクルを含む）の有限数によって定義されたグラフクラスです。CCC クリークおよびクリークカバー以外のの多項式時間で解決できるNP困難グラフ問題はありますか？CCC 正しく覚えていれば、これは独立したセットでは不可能です（ない限り）。P= NPP=NPP=NP graphclasses.orgでの検索では見つかりませんでした。 クリークおよびクリークカバーが多項式であるクラスは、C5、C6、X164、X165、sunlet4、三角形なし 編集 ISとDominationのマイナスはこのペーパーにあります。ページ2、グラフ。Si 、j 、kSi,j,kS_{i,j,k}
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線形時間で直径を計算できるグラフクラス
思い出して直径グラフ最長の最短経路の長さG。グラフが与えられると、直径（G ）を計算するための明白なアルゴリズムは、すべてのペアの最短経路問題（APSP）を解決し、見つかった最長経路の長さを返します。GGGGGG直径（G ）diam(G)\text{diam}(G) APSP問題は、いくつかのグラフクラスの最適な時間で解決できることが知られています。一般的なグラフには、O （M （n ）log n ）時間で実行される代数グラフ理論的アプローチがあります。ここで、M （n ）は行列乗算の限界です。ただし、Yuster が示すように、直径の計算は明らかにAPSPに厳密にはリンクされていません。O（n2）O(n2)O(n^2)O（ M（ n）ログn ）O(M(n)log⁡n)O(M(n) \log n)M（n ）M(n)M(n) 直径をより高速に、たとえば線形時間で計算できる、自明でないグラフクラスがいくつかありますか？ コードグラフ、およびブロックグラフなどのコードグラフのサブクラスに特に興味があります。たとえば、Gがクリークツリーとして一意に表現できる場合、弦グラフ直径はO （n + m ）時間で計算できると思います。このようなグラフはur-chordalとしても知られています。GGGO （n + m ）O(n+m)O(n+m)GGG
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グラフ一致問題の履歴とステータス
この問題についてさらに調べることの難しさの一部は、グラフのマッチングの問題が、はるかに有名ないとこであるマッチングの問題とは異なるが、検索エンジンを使用する場合、それと区別するのが難しいことです。 ような2つのグラフG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)および、タスクは、全単射を見つけることです。この全単射により、とエッジ間で可能な限り多くの対応が確立されます。G′=(V′,E′)G′=(V′,E′)G'=(V',E')π ：V → V ′ G G ′|V|=|V′||V|=|V′||V| = |V'|π:V→V′π:V→V′\pi : V \rightarrow V'GGGG′G′G' 言い換えると、とが隣接行列の場合、最大化する必要があります。M ′MMMM′M′M' ∑v,w∈VMv,w⋅M′π(v),π(w)∑v,w∈VMv,w⋅Mπ(v),π(w)′\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)} この問題には、グラフの同型が特殊なケースとして明確に含まれており、（非多項式！）削減のもとで2部一致に減らすことができます。 どんな種類のアルゴリズムが存在し、その複雑さについて何が知られていますか？
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グラフの平均距離を計算する複雑さ
ましょう接続されているグラフの平均距離であるad(G)ad(G)\rm{ad}(G)G.G.G. 計算する一つの方法の要素の合計しているの距離行列、適切和をスケーリングします。ad(G)ad(G)\rm{ad}(G)D(G),D(G),D(G),GGG 出力グラフがツリーの場合、平均距離は線形時間で計算できることがわかっています（B.Mohar、T.Pisanski-グラフのウィーナーインデックスの計算方法を参照）。制限されたツリー幅を持つグラフの高速アルゴリズムもあるようです。 したがって、興味深い質問は、を知るのに役立つかどうか言い換えるとD(G).D(G).D(G). 準2次時間でを計算することは可能ですか？ad(G)ad(G)\rm{ad}(G) 私が知りたいのは、なぜこれが不可能なのかという理論的な下限があるかどうかです。
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単色コンポーネントサイズが
色付けを少し緩和します。つまり、少数の隣接する頂点に同じ色を割り当てます。単色成分は、同じ色を受け取る頂点のセットによって誘導されるサブグラフの連結成分であると定義され、問題は、最大単色成分がサイズを持つようにグラフを色付けするのに必要な色の最小数λλ\lambdaCCCを求めることです超えないC。この設定では、 従来の色付けは色付けと見なすことができます。したがって、一般的な平面グラフの場合、λの最小数はNP困難です。 [λ,1][λ,1][\lambda,1]λλ\lambda 私の質問はどのようにについて、ある平面グラフの-coloring[λ,2][λ,2][\lambda,2]、またはより一般的には、のため-coloring C ≥ 2？[λ,C][λ,C][\lambda,C]C≥2C≥2C \geq 2 これはによって研究されているものの二重の問題として見ることができエドワーズとファー、固定されており、1は最小のサイズを見つけるように頼まれるCを。λλ\lambdaCCC
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MSOプロパティ、平面グラフ、マイナーフリーグラフ
Courcelleの定理は、モナド2次論理で定義可能なすべてのグラフプロパティは、有界treewidthのグラフ上で線形時間で決定できると述べています。これは、最もよく知られているアルゴリズムメタ定理の1つです。 クルセルの定理に動機付けられて、私は次のような推測をしました。 推測： MSO定義可能なプロパティとする。場合ψは、平面グラフに多項式時間で解けるあり、その後、ψはマイナー-freeグラフのすべてのクラスに多項式時間で解けるです。ψψ\psiψψ\psiψψ\psi 上記の推測が明らかに間違っているかどうか、つまり、平面グラフでは多項式時間で解けるが、あるクラスのマイナーフリーグラフではNP困難なMSO定義可能なプロパティがあるかどうかを知りたいですか？ これが私の以前の質問の背後にある動機です：属gのグラフでは多項式的に解けるが、属> gのグラフではNP困難な問題はありますか？
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