グラフ一致問題の履歴とステータス

この問題についてさらに調べることの難しさの一部は、グラフのマッチングの問題が、はるかに有名ないとこであるマッチングの問題とは異なるが、検索エンジンを使用する場合、それと区別するのが難しいことです。

ような2つのグラフ$G=(V,E)$および、タスクは、全単射を見つけることです。この全単射により、とエッジ間で可能な限り多くの対応が確立されます。$G'=(V',E')$π ：V → V ′ G G $|V| = |V'|$$\pi : V \rightarrow V'$$G$$G'$

言い換えると、とが隣接行列の場合、最大化する必要があります。M $M$$M'$

$\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)}$

この問題には、グラフの同型が特殊なケースとして明確に含まれており、（非多項式！）削減のもとで2部一致に減らすことができます。

どんな種類のアルゴリズムが存在し、その複雑さについて何が知られていますか？

論文近似グラフ同型から：

グラフ同型の最適化バージョンを調査します。二つのグラフ所与、我々は全単射の発見に興味を持っているからにマッチ（エッジ又は非エッジにマッピングされた非エッジにマッピングされたエッジ）の数を最大化します。我々が得たの任意の定数因子のためにその時間近似方式、演算 -approximationを。を組み合わせることでこれを証明し$G_1,G_2$ V （G 1）V （G 2）のn O （ログN$π$$V(G_1)$$V(G_2)$$n^{O(\log{n})}$$α < 1$$α$$n^{O(\log{n})}$Aroraらの時間加算誤差近似アルゴリズム。[数学。Program。、92、2002]単純な平均化アルゴリズムを使用。また、対応する（ミスマッチの）最小化問題を検討し、定数因子に対して近似ではNP困難であることを証明します。さらに、0.94の係数を超えるエッジにマッピングされたエッジの最大数を近似することもNP困難であることを示します。$α$$α$

私はあなたの問題について全く知りません。しかし、私はPDFSを使用したグラフマッチングアルゴリズムに関する論文の素晴らしい（最新の）コレクションを偶然知っています。セス・ペティへの拍手！

@Austin Buchananが近似グラフ同型について上記で指摘した論文は、要求されたバージョンに対応していないようです。隣接行列にはエントリがあり、その場合、目的は一致したエッジのみを測定していると想定しています。近似グラフ同型モデルは、一致するエッジと一致しないエッジの両方を測定するため、近似の観点から少し簡単になります。$0,1$

求められている問題は、少なくとも多項式近似のみを認めている密部分グラフ問題と少なくとも同じくらい難しいようです。アルゴリズムと硬度に関する詳細と現在のステータスについては、http ：//arxiv.org/abs/1001.2891およびhttp://arxiv.org/abs/1110.1360を参照してください。$k$

削減のために。グラフの密部分グラフ問題を解決したいとします; つまり、誘導グラフ内のエッジの数を最大化するノードサブセットを見つけたいということです。を上のクリークで構成されるグラフに設定することにより、これを問題に減らすことができます。H k S G [ S ] G k n − k G ′$k$$H$$k$$S$$G[S]$$G$$k$頂点と個の孤立した頂点の設定し、設定。$n-k$$G'$$H$