爪とパスへの立方体グラフのエッジ分割

繰り返しますが、先ほどの私の質問に動機付けられた、私が知りたがっている複雑なエッジ分割問題です。

入力： 3次グラフ $G=(V,E)$

質問：のパーティションがありにそれぞれによって誘導された部分グラフように、（つまり、爪のいずれかである、しばしばスターと呼ばれる）、または -path （つまり）？ $E$ $E_1, E_2, \ldots, E_s$ $E_i$ $K_{1,3}$ $3$ $P_4$

ある日、この問題がNP完全であることが証明された論文を見たと思いますが、それを見つけることができず、その結果が3次グラフに適用されたかどうか覚えていません。関連する問題として、2部グラフを爪にエッジ分割することはNP完全であることを認識しています（Dyer and Friezeを参照）。誰かが私が説明する問題、または何か関連するもの（つまり、別のグラフクラスの同じ問題、それから立方体グラフに還元しようとすることができる）の参照を持っていますか？

— アンソニー・ラバレ
ソース

これはあなたを助けるかもしれない：にエッジパーティション

および

ある

-Complete。

K_{3}

$K_3$

K_{1, 3}

$K_{1,3}$

N P

$NP$

— モハマドアルトルコ

turkistany、コメントへの参照を追加できますか？

— アンソニーラバレー

アンソニーは、ここのリンク（あるandrew.cmu.edu/user/jblocki/K-Anonymity.pdf）

— ムハンマド・アル・Turkistany

ああ、そう。それは私が覚えていた論文であり、私は自分の問題に正確に取り組んでいると間違って考えていました。まあ、リマインダーのためとにかくおかげで、多分私は確かにそれで何かを行うことができます...

— アンソニーLabarre

このように分割できない立方グラフの例はありますか？

— デビッドエップシュタイン

回答:

これは問題の複雑さに対する答えではありませんが、少なくとも複雑さは自明ではない可能性があることを示しています。これは、パスと爪に分割できない立方グラフの例です。

_{（ソース：uci.edu）}

3つの各ローブ内では、パスと爪へのパーティションは7つのエッジのうち6つしか使用できません。残りの6つの中央エッジは、それぞれのエッジが細分化された爪の形をとり、パスと爪に分割できません。

ETA：上記のグラフは、完全一致なしの立方体グラフの例としてより有名です。しかし、完全に一致するすべての立方体グラフには、パスへの分解があります（爪を使用することさえありません）。ケーニヒの定理ではすべての3次2部グラフが含まれ、ピーターセンの定理ではすべてのブリッジレス3次グラフが含まれ、コメントでジョセフマルケビッチの質問に答えます。

証明は非常に簡単です。Mが3次グラフで完全に一致する場合、Mを削除すると2正規グラフ、つまり、サイクルの互いに素な結合が残ります。各サイクルを任意に方向付け、Mの各エッジuvを、サイクルの方向でuおよびvに続くサイクルエッジに接続します。

逆に、パスへの分解が存在する場合、完全一致が存在します。2つの中間エッジが次数3の頂点を共有できないため、各パスの中間エッジは一致する必要があります。

（免責事項：このアイデアは、GD 2010でのCarsten Thomassenの招待講演に既に存在していた可能性があります。これは、この種のグラフ分解問題に関するものでした。）

（免責事項の追加（Anthony Labarreによる）：完全なマッチングからパーティションへのパスへの「方向付けのアイデア」は、WH Cunninghamに起因するJünger、Reinelt、およびPulleyblankによる本書に記載されています。）

— デビッド・エップスタイン
ソース

プレーンが2連結でない場合のこの素晴らしい例です。次のステップは、平面2に接続されたグラフを調べることです。

— ジョセフマルケビッチ

あなたの貴重なコメントとこの反例のおかげで、私は1つを探すのをやめることができます;-)

— アンソニーラバー

これらのローブ（次数1、3、3、3、3、3のユニークなグラフ）を、マルチグラフの一般化のエッジでのループの代わりに使用できると思うかもしれませんあなたの問題。

— コリンマッキーラン

~~$k$ $k\geq 3$ $k=3$ $2$ $3$~~

これは実際には話の終わりではありませんでした。立方体グラフが2部からなる場合、1組の2分割を選択して「爪の中心」のセットにすることで、爪のみを使用してエッジセットを分割できます。一般的な問題は確かに困難であり、CUBIC PLANAR MONOTONE 1-IN-3 SATISFIABILITYからの削減を使用して証明できます。すべての詳細はarxivで自由にアクセスできます。

— アンソニー・ラバレ
ソース

おそらくこの論文は興味深いかもしれません：

クラインシュミット、ピーター正規グラフの正規パーティション。カナッド。数学。ブル。21（1978）、いいえ。2、177–181。

長さ3の「Zパス」の結合として記述できるグラフを扱います（具体的には、平面、3価、3連結グラフ、立方体3ポリトープ）。

— ジョセフ・マルケビッチ
ソース