3次グラフ上のエッジ分割問題

次の問題の複雑さは研究されていますか？

入力：次（または3正則）グラフG = （V 、E ）、自然な上限$3$$G=(V,E)$$t$

質問：のパーティションがあるには| E | / 3サイズの部分3（nonnecessarily接続された）対応する部分グラフの注文の合計が最大であるように、T？$E$$|E|/3$$3$$t$

関連作業 3つのエッジを含むいくつかのグラフへのパーティション の存在に必要な条件および/または十分な条件を証明する論文をかなり見つけました。上記（例えば、パーティションが同型サブグラフ得なければならない又はP 4、およびNO量を特定のパーティションに関連付けられていない）が、それらのいずれも上記問題に正確に対処しません。$K_{1,3}$$P_4$

ここにすべてのそれらの論文をリストするのは少し退屈ですが、それらのほとんどは引用するか、DorとTarsiによって引用されています。

20101024：Goldschmidtらによるこの論文を見つけました。は、誘導されたサブグラフの次数の合計が最大でtになるようにグラフをAT MOST エッジを含む部分に分割するエッジの問題が、k = 3であってもNP完全であることを証明します。厳密な等式wrt kが必要な場合、問題が3次グラフでNP完全なままであることは明らかですか？$k$$t$$k=3$$k$

追加情報

失敗したいくつかの戦略を試しました。より正確には、次のことを証明する反例が見つかりました。

• 三角形の数を最大化しても、最適な解決策にはなりません。三角形は、3つのエッジ上のすべての可能なグラフの中で最も低い順序のサブグラフであるため、なんとなく直観に反しています。

• グラフを接続されたコンポーネントに分割しても、必ずしも最適なソリューションになるとは限りません。有望と思われた理由はそれほど明白ではないかもしれませんが、多くの場合、特定のサブグラフを接続するためにエッジを交換すると、重みが小さいソリューションにつながることがわかります（例：それぞれに接続された1つの追加エッジを持つ三角形でそれを試してください頂点;三角形は1つの部分で、残りは2番目で、総重量は3 + 6 = 9です。2つのエッジを交換すると、パスと星ができ、総重量は4 + 4 = 8です。）

これは、NPのハードを示す方法の提案です。これが機能するかどうかはわかりません。最初に、マルチグラフで同じ問題を考えます。NP硬度は、そこで証明するのが簡単かもしれません。NPで近似するのが難しいキュービックMAX CUTから減らしてみてください（BermanとKarpinskiの「一部のより厳密な非近似性の結果」）。各エッジを2つに分割し、新しい次数2の頂点のそれぞれで、自己ループで頂点をアタッチします。最大パーティションは最大カットに対応していますか？

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ここでもう少し説明します。

（1）3次グラフのすべての方向で（ソースの数+シンクの数）を最大化する問題は、線形関数によってMAXCUTに関連しています。これには、最大カットとソースとシンクの最大方向の間の相関関係を示す必要があります。一方向では、最大カット（U、V）で、すべてのエッジをUからVに向けることができます。内部エッジE（U）はマッチングを形成するため、これらはE（V）に対して同様に任意に向けることができます。ソースとシンクの総数は、カットのサイズの線形関数です。もう一方の方向では、ソースとシンクが最大の向きであるとすると、パーティションU =次数0または1の頂点、V =次数2または3の頂点はカットを与えます。

（2）上記のエッジ二等分変換では、最適な構成では、各ループはその隣のエッジと同じ色になり、そのエッジは他の（ループではない）エッジと同じ色になりますそれ。そのため、各二分されたエッジには、接続されたループからの1色と他の1色があります。これは方向に対応し、（1）が適用されます。