グラフの平均距離を計算する複雑さ

ましょう接続されているグラフの平均距離である$\rm{ad}(G)$$G.$

計算する一つの方法の要素の合計しているの距離行列、適切和をスケーリングします。$\rm{ad}(G)$$D(G),$$G$

出力グラフがツリーの場合、平均距離は線形時間で計算できることがわかっています（B.Mohar、T.Pisanski-グラフのウィーナーインデックスの計算方法を参照）。制限されたツリー幅を持つグラフの高速アルゴリズムもあるようです。

したがって、興味深い質問は、を知るのに役立つかどうか言い換えると$D(G).$

準2次時間でを計算することは可能ですか？$\rm{ad}(G)$

私が知りたいのは、なぜこれが不可能なのかという理論的な下限があるかどうかです。

エッジと個の頂点を持つグラフでも、定数時間でad（G）を計算すると、強い指数時間仮説（SETH ）は偽です。（SETHはImpagliazzo、Paturi、およびZane'01によって定義され、変数のCNF-SATには時間アルゴリズムがないことを意味します。）$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$$\tilde{O}(n)$$n$$n$$O(2^{(1-\varepsilon)n})$

これを証明するために、最近、2次で直径2と3のグラフを区別できる場合、（スパースグラフの直径と半径の高速近似アルゴリズム、リアムロディティ、V。ヴァシレフスカウィリアムズ、STOC'13。）時間、それからSETHは偽です。証明は、CNF-SATからの縮小を経由します。同じ縮約を使用して、準二次時間でad（G）を計算すると、縮約のグラフの平均距離が（および CNF-SATインスタンスが充足可能でない場合、リダクションインスタンスのノードとエッジの数です。満足のいく割り当てがある場合はそれ以上です。$2-M/{N\choose 2}$$N$$M$