「順列pはセット内のグラフの自己同型ですか？」NP完全ですか？

グラフのセットS（有限グラフ、ただしグラフの数は無限）と、Sに作用する順列のグループPがあるとします。

インスタンス：Pの順列p

質問：自己同型pを認めるグラフgがSに存在しますか？

この問題は、一部のセットSでNP完全ですか？

グラフが順列p（つまり、証明書）を受け入れることを確認するのは簡単です。さらに、Sが完全なグラフのセットであるなど、問題がNP完全ではないSの例を見つけるのは簡単であり、答えは常にyesです。

注：それらがどのような種類のグラフであるかについてはあまり興味がありません。あなたが好きなら、それらは単純ではない、監督されている、色付けされているなどです

補遺：現在検討している問題は、どのアイソトピズムがラテン方格のオートトピズムであるかを分類することです（これは特別なタイプのグラフ自己同型として解釈することもできます）。

ラテン方格L（i、j）が与えられた場合、次の方法でグラフを作成できます。

頂点セットは、マトリックス内のセル（i、j）のセットであり、
i = i 'またはj = j'またはL（i、j）= L（i '、j'）の場合は常に、個別の（i、j）と（i '、j'）の間にエッジがあります。

このようなグラフは、ラテン方陣グラフと呼ばれます（たとえば、BaileyとCameronによるこの記事http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdfを参照）。ラテン方格の自己トピズムは、ラテン方格グラフの自己同型として解釈できます。したがって、Sを次数nのラテン方陣から形成されたラテン方陣グラフのセットとします。だから私が興味を持っている質問は：

順列pが与えられた場合、pはSのグラフの1つ（またはそれ以上）の自己同型ですか？

私の考えでは、一般的に答えるのは難しい質問です。現在、この問題について30ページ以上の論文を書いています（2人の共著者）。実際にはほとんどの場合それは簡単です（ほとんどの場合「いいえ」です）が、いくつかの難しいケースがあります。

それで、「対称性分類」に関連する決定問題を見つけることに興味があります。それらはラテン方格に関係する必要はありません。ラテン方格の質問に答えるためにこれらのテクニックを使用したいだけです。

— ダグラス・S・ストーンズ
ソース

問題を正しく理解しているかどうかわかりません。SとP（およびSでのPのグループアクション）の例を挙げてください。問題を自明ではない（すべてはいでもすべていいえでもない）例は、問題を理解するのに役立ちます。

— 伊藤剛

完全なグラフの例では、kポイントの順列がnポイントの完全なグラフにどのように作用するか理解できません。ここで、k≠n（特にk> nの場合）。

— 伊藤剛

私は問題を理解したと思うようになりましたが、今は理解しないと決めました。順列Sのグループは、家族Pのグラフに作用しますか、または潜在的に家族Pのグラフにのみ作用しますか？

— ニールドボードラップ

ここでの問題の1つは、セット

を選択する必要があることです。

S

$S$ メンバーシップテストがNPに。

— エミール

答えにもう少し背景を追加しました。実際、一般に、「この順列はそのグラフの自己同型であるか」と答えられる限り、グループがSに作用するかどうかはあまり気にしません。ラテン方格の場合、グループアクションとして解釈できます。

— ダグラスS.ストーンズ

どんな言語でも（バイナリ文字列で構成される）を使用します。次のようにグラフの集合を作成します。 $L$ $S$

各文字列の場合と、我々はグラフ有するでノードのセットで、と次のエッジ：ビット場合のであるは、ノード $x \in L$ $|x| = n$ $G_x = (V_x,E_x)$ $S$ $V_x = \{1,2,...,3n\}$ $i$ $x$ $0$ 及び $3i-2$ は隣接しています。それ以外の場合、とは隣接しています。他のエッジはありません。 $3i-1$ $3i-2$ $3i$

今せの順列である。がグラフの自己同型であると仮定します。すなわち、の同型で一部の。してみましょう $p$ $\{1,2,...,3n\}$ $p$ $S$ $p$ $G_y$ $y \in L$ 。次の2つのケースを考えてみましょう。 $i \in \{1,2,...,n\}$

、、。次に、ビットが等しくなければなりません。 $p(3i-2) = 3i-1$ $p(3i-1) = 3i-2$ $p(3i) = 3i$ $i$ $y$ $0$
、、。次に、ビットが必要です $p(3i-2) = 3i$ $p(3i-1) = 3i-1$ $p(3i) = 3i-2$ $i$ 等しく。 $y$ $1$

私たちは、「与えられたある疑問を解決することができればそのため、いくつかの同型」、我々はまた、問題を解決することができ、「指定された文字列であるで」。さらに、前者をたとえばで多項式時間で実行できる場合で、後者を多項式時間で行うことができます同様に。 $p$ $G \in S$ $y$ $L$ $|p|$ $|y|$

これで、をお気に入りのNPハード問題にすることができます。または停止する問題... $L$

— ユッカ・スオメラ
ソース

そして、元の質問に実際に答えるには、

NP完全問題とすると、自己同型問題がNP完全になるような

が得られます。「はい」と答えのための証明書がある

ように

の自己同型である

、プラスのための証明書

。

L

$L$

S

$S$

G_{y} \in S

$G_y \in S$

p

$p$

G_{y}

$G_y$

y \in L

$y \in L$

— ユッカスオメラ

@Jukka：ラテン方陣グラフの元の動機に質問を近づける1つの方法は、同型写像の下でグラフの集合

を閉じることを要求することです。これも非常に自然な制限です。任意の言語

から構築する集合

は、同型で閉じられておらず、この非常に特定の意味で、少し不自然です。この制約を満たすために構造を変更する方法はわかりませんが、できれば非常に興味深いと思います。

S

$S$

S

$S$

L

$L$

— ジョシュアグロチョウ

@Joshua：構造を変更することは、たとえば次のように可能だと思います：クエリで使用するグラフと置換の両方が、素なサイクルで構成されています。より詳細には、

長さの周期含ま

IFFビット

の

と同じです。同様に、かどうかを決定するために

、置換コンストラクト

長さのサイクルが含ま

IFFビット

の

G_{x}

$G_x$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

x

$x$

a

$a$

y \in L

$y \in L$

p

$p$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

に等しいです

y

$y$

a

$a$ 。（詳細を見落としていたかもしれませんが、基本的な考え方はうまくいくと思います...）

— ユッカスオメラ

@Jukka：いいね。私は（我々は唯一許すと仮定すると書かれたとして、新たな建設工事を信じる

正確で、グラフに作用する

以上でグラフの頂点ではなく、

の頂点）。

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

n

$n$

— ジョシュアグロチョウ

@Joshua：私は適用の可能性を推測する

以上でグラフに

のノードを、我々は、言語と仮定した場合、重要ではありません

接頭辞のないコードを使用していますか？

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

L

$L$

— ユッカスオメラ