独立集合のLP緩和

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最大独立セットの以下のLP緩和を試しました

max \sum_{i} x_{私}

$\max \sum_i x_i$

s.t. x_{i} + x_{j} \leq 1 \forall （ 私 、 j ） \in E

$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$

{バツ}_{私} \geq 0

$x_i\ge 0$

私が試したすべてのキュービック非二部グラフのすべての変数に対して $1/2$ を取得します。

接続されているすべての立方体の2部グラフに当てはまりますか？
そのようなグラフに適したLP緩和はありますか？

更新03/05：

ネイサンが提案したクリークベースのLP緩和の結果は次のとおりです。

ここで実験をまとめました。興味深いことに、最も単純なLP緩和が不可欠な非二部グラフがかなりあるようです。

graph-theory co.combinatorics linear-programming

— ヤロスラフ・ブラトフ
ソース

解は確かに一意ではありません。立方二部グラフでは、一方の部分でで、もう一方の部分で最適な解を得ることができます。

x_{i} = 1 / 2

$x_i = 1/2$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

x_{i} = 0

$x_i = 0$

— ユッカスオメラ

1

申し訳ありませんが、私は重要な部分を見逃しました、私は二部ではない立方グラフのみを考慮します。私が試したすべての二部キュービックグラフには、積分ソリューションがありました

— ヤロスラフブラトフ

また、一意でないソリューションを回避する場合は、「接続済み」を追加する必要があります。

— ユッカスオメラ

2

（1）非負性制約を書くのを忘れました。（2）2部グラフの場合、このLP緩和の最適値は常に独立セットの最大サイズに等しくなります。これは、ケーニッヒの定理の直接的な帰結です。

— 伊藤剛

2

@Yaroslav：副次的な質問：これらのグラフをどうやって描くのですか？

— ティム

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非二部に接続立方体グラフは、一意の最適なソリューションが有する。2部の立方体グラフでは、積分最適解があります。 $x_i = 1/2$

証明：立方体グラフでは、すべての総和場合の制約は $3n/2$ $x_i + x_j \le 1$ $\sum_i 3 x_i \le 3n/2$ $n/2$

$x_i = 1/2$ $i$

$x_i = 1$

任意の最適な溶液がタイトでなければならない、すなわち、我々が持っている必要があり、従って各エッジに対して $\sum_i 3 x_i = 3n/2$ $x_i + x_j = 1$ $\{i,j\}$ $x_i = 1/2$

— ユッカ・スオメラ
ソース

2

質問についてのコメントで書いたように、あなたは不可欠な最適な解決策の存在を証明するために二部性を必要とするだけです（しかし、これはあなたとは異なる証明を必要とします）。

— 伊藤剛

@剛：はい、ケーニッヒの定理は覚えておくと良いでしょう。たとえば、上記の観察と併せて、2部構成の立方体グラフが1分解を持っていることを示します（つまり、3つの完全一致で分割できます）。もちろん、これはこの結果を証明する「間違った」方法ですが、ケーニッヒの定理の力をうまく示していると思います。ケーニッヒの定理を覚えているだけなら、グラフ理論には古典的な結果がたくさんあります。。

— ユッカスオメラ

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このLPは、すべてのグラフに対して半整数です。つまり、各変数が{0,1 / 2,1}になるように最適なソリューションが存在します。これは、NemhauserとTrotterの定理に基づいています。もちろん、補数問題のLP（頂点カバー）についても半完全性の同じ結論が続きます。グラフが2部からなる場合、解は不可欠です。これは、max-flow min-cut定理から、またはこのLPの極値点ソリューションでの作業から単純に続きます。また、1/2のエッジは奇数サイクルを形成します。

もちろん、このLPはIS問題を解決するのに適していません。クリーク制約またはSDPを追加することは、はるかに優れたアプローチです。

頂点パッキング：構造特性とアルゴリズムGL NemhauserおよびTrotter- Math。プログラム、1975

— モヒト・シン
ソース

右、半積分解を効率的に見つける非常に簡単なアルゴリズムについては、この論文の定理5.6も参照してください。

— ユッカスオメラ

Clique制約付きのLPは、上記のセットから約50％以上のグラフを解決しました。...SDP定式化はどこで見つけることができますか？

— ヤロスラフブラトフ

7

セルギー・ブテンコの博士論文2003年は、MISの他のLPリラクゼーションといくつかの2次リラクゼーションをレビューしています。

— スレシュ・ベンカット
ソース

6

$K_4$

これは、分数独立セット番号と呼ばれます。そこにいくつかの情報があります：http : //en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring またはDaniel UllmanとEdward Scheinerman（http://www.ams.jhu.edu/~ersの書籍「Fractional graph theory」）/ fgt /）。

$K_k$

ナタン

（*）これは言われていることですが、理論的には、すべてのクリークが表されるLPの最適な結果と最適な独立集合との間に任意の大きな差があります。

— ナタン・コーエン
ソース

1

k

$k$

(k + 1)

$(k+1)$

x_{i} = 1 / k

$x_i = 1/k$

i

$i$

面白い、これは弦グラフにIndependentSetのしやすさに関係しているようだ

— ヤロスラフBulatov

私はいくつかの実験をしましたが、このLP緩和のソリューションは、弦グラフに常に不可欠だった

— ヤロスラフBulatov

1

@YaroslavBulatovあなたの観察には理由があります。クリークの不等式と非負性の境界は、グラフが完全な場合にのみ、独立集合の凸包を提供します。弦グラフは完璧です。

— オースティンブキャナン