等辺の均一に着色されたサブトライアングルを妨げる色の最小量

でBundeswettberweb Infomatik 2010/2011、興味深い問題がありました：

固定場合、最小kとマップ φを見つけます。{ （i 、j ）| I ≤ J ≤ N } → { 1 、... 、K }何三重がないように、と。$n$$k$$\varphi: \{(i,j)|i\leq j \leq n\}\rightarrow \{1,\ldots,k\}$φ （i 、j ）= φ （i + l 、j ）= φ （i + l 、j + l $(i,j),(i+l,j),(i+l,j+l)$$\varphi(i,j)=\varphi(i+l,j)=\varphi(i+l,j+l)$

つまり、三角形の色の最小量を探して、均一に色付けされた正三角形のサブ三角形がないようにします（次の図は、強調表示された頂点が均一に色付けされた正三角形のサブ三角形を形成するため、無効な色付けを示しています）：

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

実際に、彼らは適度に小さいために求め用のとで溶液彼らは貪欲なアプローチが有する着色が得られることに留意（ドイツ語で書かれた）の色まで低減することができ、まで、ランダム色での有効な解決策が見つかりました。n = 1000 27 n = 1000 $k$$n=1000$$27$$n=1000$$15$

私は正確なソリューションに興味があります $n$）ます。溶液は、バックトラック収率と言う色のために十分である及びのために十分であるバックトラッキングは、本当に遅い既に、。$2$$n\in\{2,3,4\}$$3$$5\leq n \leq 17$$n=17$

最初に、ILPの定式化とGurobiを使用して結果を得ようとしましたが、遅すぎました（すでに）。次に、SATソルバーを使用しました。SATインスタンスとして簡単な定式化があることに気づいたからです。$n>17$$n=17$

そのアプローチで、分以内に色のソリューションを生成することができました。$3$$n=18$$10$

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

しかし、 $3$、で色で十分には、すでに遅すぎます。正確な解を与えるいくつかの異なるアプローチがありますか？確かに、多項式アルゴリズムは期待できません。$n=19$$n \geq 19$

単なる拡張コメント：

SteinbachとPosthoffが使用するアプローチを見て、単色の長方形のない18x18（および12x21）グリッドの4色を見つけることができます。

Bernd SteinbachとChristian Posthoff、最後に開かれた4色の四角形のないグリッドの解法、非常に複雑な多値問題。2013年の多値論理に関するIEEE第43回国際シンポジウム（ISMVL '13）の議事録

Gasarchらによって証明されたように。任意のn × m長方形の部分的な着色が与えられた場合、単色長方形なしで長方形全体に着色を拡張できるかどうかを決定するのはNP完全です。$c$$n \times m$ダニエルアポン、ウィリアムガザーク、ケビンローラー、NP完全問題グリッドカラーリング。そのため、正三角形でも問題がNP完全である可能性が高くなります。..それを証明するのは良い結果になると思います。

ちょっとした注意：単色の長方形のない4色の問題に数週間のCPUサイクルを費やしましたが、間違った部分的な結果（可能な1色のサブ構成の数を制限する誤った以前の分析）から始めましたSTPの制約ソルバー。対称性を破る制約（三角形の辺の色付けの順序など）を追加し、1色のみを使用して可能な構成の分析を試みると、大幅な改善を実現できます。

編集：これは、n = 19（〜1分）のSTPプログラムの結果です

$n \leq 22$$n=22$$n=23$$n=23$$n=23$）。

$n=19$$n=23$（およびそれ以降）。

$n=22$

画像を生成し、問題について私に知らせてくれたMarzioに感謝します！:-)