Kargerのアルゴリズムを使用しないグラフの最小カット数

Kargerのmincutアルゴリズムを使用して、グラフが持つことができる可能性のあるmincutの最大数が$n \choose 2$。

私は、ミニカットのセットから全単射（むしろ単射）証明を別のカーディナリティ。特別な理由はありませんが、それは単なる好奇心です。自分でやってみましたが、今のところ成功していません。私は誰もこれについて時間を浪費したくないので、質問が無意味であると思われる場合、私はモデレーターにそれに応じた行動を取るよう要求します。$n \choose 2$

ベスト-Akash

バウンドは、1976年にディニッツ、カルザノフ、ロモノソフによって「グラフのすべての最小カットのシステムの構造」で最初に証明されたと思います。おそらく、このホワイトペーパーで探しているものを見つけることができますが、オンラインかどうかはわかりません。$\binom{n}{2}$

非公式には、最小カットの最大数を得るために、グラフ内のすべてのノードが同じ次数を持たなければならないと主張することができます。

カット分割をグラフましょうノードの2つの設定にC及びˉ CようなC ∩ ˉ C = ∅。グラフの最小カットの数をm c （G ）と表記します。$G$$C$$\bar C$$C \cap \bar C=\emptyset$$mc(G)$

各頂点の次数が2である個の頂点を持つ連結グラフを考えます。これはサイクルグラフでなければならず、最小カットは2つのエッジです。任意の2つのエッジをカットするとカットが発生し、そのようなカットが最小カットであることは明らかです。あるので、N （N - 1 ）/ 2のエッジの異なる対が存在するN （N - 1 ）/ 2の最小カット。$n$$n(n-1)/2$$n(n-1)/2$

サイクルグラフからエッジを削除して、新しいグラフを作成します。新しいグラフの最小カットは1つのエッジであり、任意のエッジをカットするだけで十分です。このようなカットは個作成できます。$n-1$

サイクルグラフにエッジを追加して、新しいグラフを作成します。現在、2つのノードには次数3があり、ノードには次数2があります。度の3つのノードに属し、両方必要がありますCまたは両方に属しているˉ C。サイクルグラフの場合には、全くノードは一緒に表示されるように制限されなかったことに留意されたいC又はˉ C。これは、エッジを追加すると制約が追加され、最小カットの数が減ることを意味します。$n-2$$C$$\bar C$$C$$\bar C$

さらにノードを3次にプロモートすると、2次の最小カットが1つだけになるまで、追加の制約が追加されます。

上記は、サイクルグラフが（少なくとも）極大値であることを示しています。$mc$

すべてのノードの次数が3であるグラフのセットを考えます。エッジを削除すると、1つの最小カットが2のグラフが生成されます。上記のようにエッジを追加すると、カットの同じ側に最も多く現れる2つのノードが生成されます。

$k$$mc$$mc=n$$n-1$

上記の形式化が可能かどうかについてはあまり考えていませんが、可能性のあるアプローチを表しています。

また、私はジェラニ・ネルソンが彼の答えへのコメントで言及しているビックスビーの論文は「エッジ接続性nとM n-ボンドをもつグラフのエッジと頂点の最小数」と題されていると思います（リンク）