ツリー幅の計算が難しい（簡単な）興味深いグラフクラスはありますか？

Treewithは、グラフがツリーからどれだけ近いかを示す重要なグラフパラメーターです（厳密なトポロジの意味ではありません）。

ツリー幅の計算がNP困難であることはよく知られています。

ツリー幅の計算が難しい自然なグラフのクラスはありますか？

同様に：

ツリー幅の計算が簡単な興味深いグラフクラスはありますか？はいの場合、悪用される可能性のある構造プロパティ/テストはありますか？すなわち、グラフプロパティ有するX ⇒のツリー幅計算G ∈ Pを。$G$$X$ $\Rightarrow$$G \in \mathbf{P}$

ツリー幅は、共二部グラフ上で計算するのが困難なNPであり、実際、 Arnborgらのツリー幅の元のNP困難性の証明です。これを示しています。さらに、BodlaenderとThilikosは、最大次数のグラフのツリー幅を計算することはNP困難であることを示しました。最後に、ツリー幅の少なくともいずれかのグラフの2、細分エッジ（すなわち、エッジ度を置き換える2 2つのエッジエンドポイントに隣接頂点）グラフのtreeewidthを変更しません。したがって、任意の大きな胴回りの2分割2縮退グラフのツリー幅を計算することはNP困難です。$9$$2$$2$

問題は、コーダルグラフ、順列グラフ、およびより一般的には多項式数の潜在的な最大クリークを持つすべてのクラスのグラフで解ける多項式時間です。ブチッテとトディンカによるこの論文を参照してください。同論文では、設定することを示していることに留意されたいグラフの潜在的な最大クリークのGは、から計算することができるG時間にO （| Π （G ）| 2 ⋅ nはO （1 ））。また、Bodlaenderのアルゴリズムはかどうかを決定する$\Pi(G)$$G$$G$$O(|\Pi(G)|^2 \cdot n^{O(1)})$$G$時間2 O （k 3） nで最大ツリー幅を持ちます。したがって、ツリー幅ツリー幅のグラフの多項式時間可解であるO （（ログN ）、1 / 3が）。$k$$2^{O(k^3)}n$$O((\log n)^{1/3})$

平面グラフのツリー幅の計算が多項式時間で解決可能かNP完全かは、未解決の未解決の問題です。関連するグラフパラメーターbranchwidth（ツリー幅から常に1.5倍以内）は、平面グラフで多項式時間で計算できることに注意してください。