頂点カバーの数を数える：難しいのはいつですか？

与えられたグラフの頂点カバーの数を数える＃P-complete問題を考えてください。$G = (V, E)$

このような問題の難易度がパラメーター（たとえば、）によってどのように変化するかを示す結果があるかどうかを知りたいです。$G$$d = \frac{|E|}{|V|}$

私の感覚では、がスパースであるときとがデンスであるときの両方で問題がより簡単になるはずですが、が「中間」にあるときは難しいはずです。これは本当ですか？$G$$G$$G$

与えられたグラフの頂点カバーの数を計算する#VC問題は、3-正則グラフでは＃P-hardのままです。たとえば、[Greenhill、2000]を参照してください。

#VC問題が高々とグラフの＃P-硬いままであることを示すために、$c\cdot n$エッジ、$n$の頂点の数で$0<c<3/2$、十分な大きさを追加することによって、3-正規ケースから下げます独立したセット（線形サイズ）。独立したセットを追加しても、頂点カバーの数は変わりません。

同様に、#VC問題が少なくとも付きグラフの＃P-硬いままであることを示すために$c\cdot n^2$縁、ここで$n$頂点の数とされる$0<c<1/2$、十分な大きさを加算することにより#VCから下げますクリークコンポーネント（線形サイズ）。サイズpのクリークをグラフに追加すると、頂点カバーの数に$p+1$が乗算されます。$p$

Catherine S. Greenhill：スパースグラフおよびハイパーグラフのカラーリングと独立セットのカウントの複雑さ。計算の複雑さ9（1）：52-72（2000）

ヤロスラヴの答えに続いて、ルビーとヴィゴダは、密度条件（最大次数4、これはワイツの結果よりも弱いと思われます）で#ISのFPRASを最初に示しましたが、ダイアー、フリーズ、およびジェラムは、FPRASがないことを示しましたRP = NPでない限り、グラフの最大次数が25の場合は#IS。

参照：

マーティン・ダイアー、アラン・フリーズ、マーク・ジェラム。疎グラフの独立集合のカウントについて。FOCS 1999。

マイケル・ルビーとエリック・ヴィゴダ。およそ4個までカウントします。STOC 1997。

JerrumのETH講義ノート「カウント、サンプリング、統合：アルゴリズムと複雑さ」も参照してください。

$n$$d$$d$$f(d,\epsilon)\cdot n$$\exp(\epsilon n)$$d$$2$-Sat（独立セットのカウントおよび頂点カバーのカウントと同等）。

$n$$\exp(o(n))$

補集合が独立集合である場合、集合は頂点カバーです。したがって、この問題は独立集合を数えることに相当します。

独立セットの代数的カウントは、有界有界クリーク幅のグラフのFPTです。たとえば、クールセルの「多変量インターレース多項式と有界クリーク幅のグラフの計算」を参照してください。ここでは、独立多項式の一般化を計算します。独立多項式の係数を合計すると、独立セットの数が得られます。

最大次数3のグラフは、無制限のクリーク幅を持つことができます。

問題が「相関減衰」を示す場合、独立セットの数値カウントは扱いやすいです。Dror Weitz（STOC'06）は最大次数グラフ上の重み付き独立セットをカウントするための決定論的なFPTASを提供します。$d$$\lambda$

_{（ソース：yaroslavvb.com）}

$\lambda=1$

$d$$\lambda$$d$